Modellierung mechatronischer Systeme (Inhalt)

Dr.-Ing. Alfred Kamusella, Technische Universität Dresden / Institut für Feinwerktechnik

Dekomposition nichtlinearer Systeme

Zeitverändliche Energiespeicher

Elektro-Magnete (Unter Mitwirkung von Dr.-Ing. Olaf Beyer)

Parameterfindung (Basierend auf Vorarbeiten von Dipl.-Ing. Thomas Roschke)

Grundlagen der Regler-Modellierung

Wechselwirkung zwischen Festkörper-Oberflächen

Wellenvorgänge

Ebene Starrkörper-Mechanismen (Unter Nutzung eines Modellsystems von Dr.-Ing. Erhard Seydel)


Dekomposition nichtlinearer Systeme

Abgrenzung von Teilsystemen

Reduktion auf konzentrierte Elemente

Schnittstellen-Definition

Physikalische Wirkungsrichtungen definieren


Zeitveränderliche Energiespeicher
Zeitverändliche Energiespeicher

Physikalische Grundlagen

Beispiel: Mechanischer Fliehkraft-Sensor

Energiebilanz als Methode der Modellverifizierung

Animation zur Veranschaulichung von Zuständen


Elektro-Magnete

Dieser Abschnitt entstand unter Mitwirkung von Dr.-Ing. Olaf Beyer

Magnetisierungskennlinie und Permeabilität

Elektro-magnetischer Wandler

Magnetische Widerstände

Magnetische Energiespeicher

Magneto-mechanischer Wandler

Geschlossener Eisenkreis (Einführungsbeispiel)

Grundstruktur des Elektromagneten (Beispiel: EI-Magnet)

Energiebilanz des Elektromagneten (Beispiel: EI-Magnet)


Parameterfindung

(Dieser Abschnitt nutzt Vorarbeiten von Dipl.-Ing. Thomas Roschke)

Grundlagen

Ersatzfunktionen für Effekte

Parameterfindung und Modellvalidierung

Beispiel Magnetisierungskennlinie

Einfacher Magnetkreis

Effektisolierung

Minimalmodell zur Parameterfindung

Vergleich: Messung und Simulation

Prozeß der Parameterfindung bei existentem Modell


Grundlagen der Regler-Modellierung

Analoge Regler

Idealisierte PID-Übertragungsfunktion

PI-Glied mit Operationsverstärker

D-Glied mit Operationsverstärker

Zeitgetaktete Regler

Abtast- und Halteglied

Integral-Bildung

Differentation

PID-Glied

Fuzzy-Regler

Expertensystem als Regler

Linguistische Variable, Fuzzy-Mengen, Fuzzyfizierung

Regelbasis (Wissensbasis)

Inferenz

Defuzzyfizierung


Wechselwirkung zwischen Festkörper-Oberflächen

Energetische Schnittstellen an Elementen der Mechanik

Weicher Stoß

Harter Anschlag

Spiel

Reibpaarungen

Grundlagen

Numerische Reibwert-Funktionen

Haftreib-Übergänge als numerische Ereignisse

Haftreibung als stark gedämpfte Bewegung


Wellenvorgänge

Grundlagen

Leitungselemente

Numerisches Modell


Ebene Starrkörper-Mechanismen

Die Modellbausteine zur Mechanismenmodellierung wurden von Dr.-Ing. Erhard Seydel entwickelt.

Idealisierung von 2D-Mechanismen

Modellierprinzip

Der Starrkörper und seine Elemente

Die Kopplung und ihre Elemente

Zerlegung von Mechanismen in zwangsläufige Teilsysteme

Synthese von Mechanismen aus zwangsläufigen Teilsystemen

Modellbaukasten für Mechanismen-Elemente


Abgrenzung von Teilsystemen

Die Komplexität eines Gerätes oder auch einer umfangreicheren Baugruppe ist als Modell nur durch Zergliederung in Modelle von Teilsystemen beherrschbar. Diese Modelle von Teilsystemen werden im USAN Teilmodelle genannt.

Bei dynamischen Modellen wird die Abgrenzung von Teilsystemen überwiegend nach funktionellen Aspekten erfolgen. Es sollten funktionelle Einheiten entstehen, welche sowohl als reale Objekte als auch als Teilmodelle selbständig betreibbar sind.

Achtet man auf die autonome Betreibbarkeit der Teilsysteme, so kann man die Teilmodelle unabhängig voneinander validieren. Außerdem ist es dadurch einfacher ein Bausteinsystem von Teilmodellen aufzubauen, aus dem man Teilmodelle nach Bedarf auswählen und zu Modellen zusammensetzen kann.

Jedes Teilsystem kann mehrere Partialsysteme beinhalten. Bleibt man bei dem obigen Beispiel, so wird man im Teilmodell der Spulen elektrische, thermische und geometrisch-stoffliche Aspekte behandeln. Jedes Partialsystem besitzt Speicher- und Übertragungselemente für eine bestimmte Energie-Art. Das geometrisch-stoffliche Partialsystem nimmt insofern eine Sonderstellung ein, da es hier um stoffliche Eigenschaften (Dichte, spezifische Leitfähigkeit, Ausdehnungskoeffizienten u.ä.) sowie um die Beschreibung der Geometrie des Teilsystems geht.

Für die Wechselwirkung zwischen den Partialsystemen existieren Wandler-Elemente. So entsteht infolge des elektrischen Stroms im ohmschen Widerstand einer Spule Wärme. Durch die Änderung der Spulentemperatur ändert sich der ohmsche Widerstand und es gibt eine Rückwirkung auf die Stärke des elektrischen Stroms.


Reduktion auf konzentrierte Elemente

Nur partielle Differentialgleichungen gestatten die dynamische Betrachtung in Raumkontinua. Mit einigem Programmieraufwand können partielle Differentialgleichungen auch innerhalb von USAN-Teilmodellen numerisch umgesetzt werden. Vom Grundanliegen her unterstützt USAN jedoch vor allem die Lösung von Differentialgleichungen im Zeitbereich. Dazu ist es notwendig, räumlich verteilte Strukturen zu idealisierten konzentrierten Elementen zusammenzufassen:

Letzendlich müssen die konzentrierten Elemente die gleiche Funktion erfüllen wie die Raumkontinua, aus denen sie abgeleitet wurden: Energie, Stoff oder Information speichern, transportieren oder wandeln.

Für die meisten Partialsysteme existieren Berechnungsanweisungen, welche es gestatten, aus mit Stoff gefüllter Geometrie entsprechende konzentrierte Elemente wertmäßig zu bestimmen. Probleme gibt es vor allem bei inhomogenen Feldern im nichtbegrenzten Raum (z.B. magnetische Ersatz-Leitwerte für den Luftraum eines Magneten).

Die Menge von Energie, Stoff oder Information, welche sich in einem speichernden Element befindet, wird durch den Wert der zugehörigen Zustandsgröße beschrieben.

Zustandsgrößen haben im Modellkonzept des USAN eine besondere Bedeutung. Idealisiert betrachtet sind sie die einzigen Größen, welche ihren Wert nur stetig ändern können. Sie sind die Basis für die Modellerstellung. Alle mittels Integral-Anweisung berechneten Größen in den Teilmodellen sind in jedem Fall Zustandsgrößen.

In der folgenden Tabelle werden die Zustandsgrößen für einige in der Technik wichtige Energiespeicher benannt:

Die Feder ist eigentlich ein Speicher für potentielle Energie und für eine konstante Nachgiebigkeit gilt

.

Somit wäre die Kraft numerisch betrachtet eine Zustandsgröße.

Es hat sich jedoch als günstig erwiesen, eine Feder als beliebige nichtlineare Kraftkennlinie F=f(x) zu behandeln.

Es wird somit die Betrachtungsweise vertreten, daß potentielle Energie prinzipiell in der Masse in Wechselwirkung mit einem reversiblen Kraftelement gespeichert wird. Die zugehörige Zustandsgröße ist dann die Auslenkung der Masse. Sie wird durch Integration über die Geschwindigkeit der Masse berechnet. Primär wird die Masse dabei als ein Speicher für kinetische Energie behandelt. Dies widerspiegelt sich auch bei der Definition der energetischen Schnittstellen an einer Masse, wie sie im nächsten Abschnitt beschrieben wird.


Schnittstellen-Definition

Nachdem die Abgrenzung eines Teilsystems für ein bestimmtes Teilmodell festgelegt wurde, muß analysiert werden, welche Elemente dieses Teilsystems mit seiner Umgebung verbunden werden können.

Dabei kann man zwei verschiedene Arten der Verbindung mit der Umgebung unterscheiden. Die einfachere Art ist wechselwirkungsfrei im Sinne rückwirkungsfrei übertragener Signalverläufe. Die Signalverläufe können an die Umgebung übergeben werden (Ausgangssignal) oder werden von der Umgebung in das Teilmodell eingespeist (Eingangssignal). Kybernetische Systeme basieren auf solchen wechselwirkungsfreien Schnittstellen zwischen den kybernetischen Teilsystemen:

Reale technische Teilsysteme sind jedoch selten von ihrer Umgebung energetisch entkoppelt. An den Koppelstellen wird Energie übertragen. Energieübertragung ist nie rückwirkungsfrei! Das äußert sich auch bei der Definition der Schnittstellen:

Die eingezeichneten Richtungen der Signale außen an den Schnittstellen haben nichts mit den als positiv definierten physikalischen Wirkungsrichtungen zu tun. Es handelt sich hierbei um reine kausale Wirkungsrichtungen, welche den Übergaberichtungen der Datenwerte zwischen den Teilmodellen entsprechen (Datenflußrichtung). Zur Kennzeichnung werden deshalb Halbpfeile genutzt. Die Zustandsgrößen sind durch einen Vollkreis markiert.

Es lassen sich drei grundlegende Typen von Elementen unterscheiden, welche eine energetische Schnittstelle aufweisen können:

Speicher für potentielle Energie (mech. Feder, Druckbehälter, elektrische Kapazität, Wärmekapazität, ...)

Speicher für kinetische Energie (mech. Masse, elektrische Induktivität, ...)

Verlust-Elemente (mechanische Reibung/Dämpfung, elektrischer Widerstand, ...)

Beispiel: Elektrische Kapazität / Elektrische Induktivität

Beispiel: Elektrischer Widerstand

Beispiel: Masse und Feder / Dämpfer

Man sollte Zustandsgrößen immer direkt als Teil der Schnittstellen benutzen. Nur so kann von der numerischen Integration gewährleistet werden, daß an den Schnittstellen Zustandsgrößen existieren, deren Wert zu jedem Zeitpunkt als bekannt voraussetzbar ist.


Physikalische Wirkungsrichtungen definieren

Wenn man bei der mathematischen Formulierung der physikalisch-technischen Zusammenhänge die Wirkungsrichtungen der verwendeten Größen vorzeichenrichig beachtet, so ist es prinzipiell egal, in welche Richtung man sie als positiv definiert.

Da in Form der Teilmodelle ein System von Bausteinen angestrebt wird, welche möglichst flexibel miteinander kombinierbar sein sollen, müssen natürlich bei der Festlegung der positiven Richtungen an den Schnittstellen bestimmte Konventionen eingehalten werden. Folgende Konventionen haben sich als günstig erwiesen:

Beispiele zur Festlegung der positiven Richtungen für unterschiedliche physikalische Größen finden Sie auf der vorhergehenden Seite.

Die Festlegung der positiven Richtungen im Innern der Teilmodelle ist für die Paßfähigkeit ohne Bedeutung. Im Sinne der Einheitlichkeit sollte man für die Richtung mechanischer Größen die obigen Konventionen konsequent einhalten. Die tatsächliche Kraft- oder Bewegungsrichtung ergibt sich dann über das Vorzeichen der Werte. Bei anderen Größen sollte man über jedem Bauelement nach Möglichkeit die Bewegungsgröße und Potentialgröße mit gleichem positiven Richtungssinn versehen (z.B. Strom und Spannung an einem elektrischen Bauelement). Damit erspart man sich das unnötige Hantieren mit zusätzlichen negativen Vorzeichen.


Veränderliche Energiespeicher (Physikalische Grundlagen)

Meist kann man das Speichervermögen der verschiedenen Energiespeicher eines dynamischen Systems als konstant behandeln. So wird ein translatorisch bewegter starrer Körper den Wert seiner Masse kaum ändern. Auch der Wert einer elektrischen Kapazität oder einer elektrischen Induktivität ist meist konstant, wenn es sich um elektrische Bauelemente handelt. Für diesen Fall konstanter Energiespeicher ergeben sich sehr einfache Berechnungen der Zustandsgrößen.

Translatorische Bewegung einer Masse:

rotatorische Bewegung einer Drehträgheit:

Strom durch Induktivität einer Spule:

Spannung einer elektrischen Kapazität:

Diese Zustandsgleichungen resultieren aus der sinngemäßen Anwendung des Impulssatzes auf die  unterschiedlichen physikalischen Partialsysteme. Berechnet wird daraus die Ableitung der benötigten Zustandsgröße nach der Zeit:

Kraft verknüpft mit Impulsänderung:

Moment verknüpft mit Drehimpulsänderung:

induzierte Spannung verknüpft mit Induktionsflußänderung:

Strom in Kapazität verknüpft mit Ladungsänderung:

Ist der Wert für den Energiespeicher (m, J, L, C usw.) konstant, so wird der Anteil ihrer zeitlichen Ableitung Null und man erhält die obigen Integralformen für konstante Energiespeicher.

Handelt es sich um einen zeitlich veränderlichen Energiespeicher, so hat man meist keinen analytischen Ausdruck zur direkten Beschreibung dieser Zeitfunktion. Es ist dann jedoch ein Zusammenhang mit einer anderen zeitlich veränderlichen Größe bekannt, z.B. der Position oder der anliegenden elektrischen Spannung. Typische Abhängigkeiten für die unterschiedlichen Energiespeicher werden im folgenden aufgelistet

Translatorische Bewegungen sind durch konstante Massen gekennzeichnet! Erst durch relativistische Effekte könnte es zu einer Masseänderung eines bewegten Körpers kommen. (Masseänderungen durch Verdunstung oder Kondensation müssen wie Mehrkörpersysteme behandelt werden. Ein Kondensatteilchen verändert zwar die Masse des zu bewegenden Körpers, bewirkt aber keine Beschleunigung, da es seinen Impuls mitnimmt bzw. mitbringt!).

Die rotatorische Drehträgheit ist eine Funktion der Massenverteilung in Bezug auf den Drehpunkt. Je mehr der konstanten Masse sich vom Drehpunkt entfernt, desto größer wird die Drehträgheit . (Typisches Beispiel ist die Pirouette des Eiskunstläufers).

Die Induktivität der Spule eines Elektromagneten ist in erster Näherung eine Funktion des Luftspalts zwischen den beweglichen Teilen des Eisenkreises. (Bei Berücksichtigung der Nichtlinearitäten des Eisenkreises ist die Induktivität auch noch abhängig von der aktuellen Flußdichte-Verteilung im Eisen, welche außer vom Luftspalt auch vom Spulenstrom bestimmt wird.)

Die Kapazität eines kapazitiven Sensors ist eine Funktion des Plattenabstandes oder der Größe der sich gegenüberstehenden Plattenflächen. Die Kapazität einer C-Diode ist eine Funktion der angelegten Spannung.

Falls es möglich ist, sollte der funktionelle Zusammenhang zwischen dem Wert des Energiespeichers und der betreffenden physikalischen Größe in analytischer Form notiert werden (z.B. L=f(x) ). Im Ausnahmefall kann man auch gemessene Kennlinienverläufe nutzen, welche in Form von ASCII-Tabellen bereitgestellt werden.

Die zeitliche Ableitung einer beliebigen Funktion kann man prinzipiell auch durch Anwendung der numerischen Differentation gewinnen. Falls man nur über gemessene Kennlinienverläufe verfügt, muß man zu diesem Hilfsmittel greifen. Es leidet darunter jedoch die numerische Stabilität der Modellberechnung. Um ein numerisch stabiles Modellverhalten zu erzielen, sollte die Änderungsgeschwindigkeit des Energiespeichers in Form eines analytischen Ausdrucks dargestellt werden (z.B. dL/dt=f(x) ).

Man besitzt z.B. eine wegabhängige Funktion F(x) und benötigt dF(x)/dt. Mit einem einfachen Trick löst man dieses Problem, indem man den Ausdruck dF(x)/dt z.B. mit dx erweitert:

Handelt es sich bei der Variablen x (hier die Position) um eine Zustandsgröße, so hilft die Tatsache, daß die Ableitung dieser Zustandsgröße innerhalb des numerischen Modells sowieso berechnet wird und damit wertmäßig zur Verfügung steht (hier die Geschwindigkeit v). Dies soll am Beispiel eines Elektro-Topfmagneten demonstriert werden:

Der Magnet ist ein elektromechanischer Wandler mit einer elektrischen und einer mechanischen Seite. Zwischen beiden Seiten existiert eine Wechselwirkung, vermittelt durch das magnetische Feld. Aus der Sicht der elektrischen Seite ist die Spule eine Reihenschaltung aus ohmschen Widerstand des Spulendrahtes und einer von der Ankerposition abhängigen Induktivität.

Bildet man die Ableitung des Induktivitätswertes nach der Zeit nach obigem Vorbild, so ergibt sich für den Spannungsabfall an der reinen Induktivität (ohne ohmschen Widerstand):

Diese Spannung setzt sich aus zwei Komponenten zusammen, aus der Induktionsspannung infolge Stromänderung und einer Spannung, welche proportional der aktuellen Ankergeschwindigkeit ist und aus der Änderung der Induktivität resultiert.

Der Strom durch die Induktivität ist weiterhin die Zustandsgröße. Durch Umformung der letzten Gleichung in die Integral-Form erhält man

Die zur Berechnung von di/dt notwendigen Größen bestimmt man wie üblich aus den Zusammenhängen der betrachteten physikalischen Partialsysteme.

Handelt es sich bei den zu entwickelnden anlytischen Ableitungen z.B. dL/ds um sehr komplizierte Ausdrücke, sollte man parallel dazu im Modell während der Testphase die Differential-Funktion zur Bildung der numerischen Ableitung nutzen:

:

PARAMETER

 AnalytdL : 0=num. Berechnung dL\dt zur Kontrolle;

 :

VAR

 dLdt : CHAR;

 :

INIT

 dLdt := DifferentialName;

DYNAMIC

 :

 IF AnalytdL=0 THEN

  dL_dt:= Differential (L,t,0,dLdt)

 ELSE

  dL_dt:= dL_ds * v;

 :

Durch Vergleich der Werte aus analytischer und numerischer Ableitung erhält man die Bestätigung, ob man die Differentationsregeln korrekt angewendet hat. Danach kann die numerische Differentation wieder aus dem Teilmodell entfernt werden.


Beispiel: Mechanischer Fliehkraft-Sensor

Das Wirkprinzip des betrachteten Sensors entspricht dem Fliehkraftregler der Watt´schen Dampfmaschine. Jedoch bewegen sich im gewählten Beispiel die radial ausgelenkten Massen auf einer ebenen Grundplatte. Die Gegenkraft wird durch eine Feder erzeugt:

Die radial beweglichen Fliehkraftkörper sollen reibungs- und dämpfungsfrei gelagert sein. Beide Körper und Federn werden in erster Näherung zu einer Masse und einem Körper zusammengefaßt. In der Realität verhält sich das System jedoch vor allem infolge der Federtoleranzen nicht symetrisch, so daß es zu Unwuchterscheinungen an der Drehachse der Platte kommt.

Die gezeigte Anordnung soll in einem Teilmodell modelliert werden. Es existiert eine energetische Schnittstelle an der Antriebsachse.

Die Energiespeicher ´translatorische Masse´ und ´rotatorische Trägheit´ werden wie üblich modelliert. Zusätzlich zur Federkraft wirkt auf den radial beweglichen Körper die Fliekraft. Über die Winkelgeschwindigkeit omega beeinflußt somit das rotatorische Partialsystem das translatorische.

Die Rückwirkung des translatorischen Partialsystems auf das rotatorische erfolgt über die Position des radial beweglichen Körpers. Mit der aktuellen Position ändert sich die rotatorische Trägheit aus Platte und Körper, woraus Kraftwirkungen auf die Platte resultieren. Da die rotatorische Trägheit der Platte konstant ist, muß für die Bildung von dJ/dt nur der Anteil des radial beweglichen Körpers berücksichtigt werden.

TITEL

 DrehMass : an Feder befestigt radial beweglich (DREHMASS);

 AUTOR    : Dr.-Ing. Alfred Kamusella, TUD-IFWT;

 DATUM    : 26.10.1997;

PARAMETER

 m_Koerp  : Masse des radial bewegl. Koerpers  / kg      ;

 cFeder   : Halte-Feder des Fliehkraftkoerpers / N/m     ;

 s0Feder  : entspannte Federlaenge             / m       ;

 r_Platte : Radius der Grundplatte             / m       ;

 d_Platte : Dicke der Grundplatte              / m       ;

 RhoPlatt : Massedichte der Grundplatte        / kg/m^3  ;

ERGEBNIS

 J_Platte : Dreh-Traegheit der Grundplatte     / kg*m^2  ;

SIGNALE

 dJ_ds    : Ableitung Drehtraegh. nach s_Koerp / kg*m^2/s;

 J_Koerp  : Drehtraegh. des rad. bewegl.Koerp. / kg*m^2  ;

 J_gesamt : resultierende Gesamtdrehtraegheit  / kg*m^2  ;

 F_Flieh  : Fliehkraft des rad. bewegl. Koerp. / N       ;

 F_Feder  : Federkraft auf rad. bewegl. Koerp. / N       ;

 MAntrieb : Antriebsmoment auf die Platte      / N*m     ;

 alfa     : Winkelbeschleun. der Platte        / rad/s^2 ;

 omega    : Winkelgeschwind. der Platte        / rad/s   ;

 phi      : Positionswinkel  der Platte        / rad     ;

 a_Koerp  : radiale Beschleunigung  d.Koerpers / m/s^2   ;

 v_Koerp  : radiale Geschwindigkeit d.Koerpers / m/s     ;

 s_Koerp  : Auslenkung d.Koerpers z.Drehpunkt  / m       ;

VAR

 i        : INTEGER;

 ds       : REAL;

INIT

 J_Platte := 1/2*sqr(r_Platte) * (pi*sqr(r_Platte)*d_Platte*RhoPlatt);

{ pot. Anfangsenergie bei beliebigen Speicherkennlinien }

 WPotFed  := 0; i:=0; ds:=(s0Feder-s_Koerp)/1000;

 WHILE i<1000 DO BEGIN { Wpot=Flaeche(F*ds) }

  i       := i+1;

  WPotFed := WPotFed + ds * cFeder * i*ds;

 END;

DYNAMIC

{ Rotatorische Traegheit }

 J_Koerp  := m_Koerp * s_Koerp * s_Koerp;

 J_gesamt := J_Koerp + J_Platte;

 dJ_ds    := m_Koerp * 2 * s_Koerp;

 alfa     :=(MAntrieb-omega*dJ_ds*v_Koerp)/

            {-----------------------------}

                      J_gesamt;

 omega    := Integral (alfa);

 phi      := Integral (omega);

{ Translatorische Masse und Feder                        }

 F_Flieh  := m_Koerp * s_Koerp * sqr(omega);

 F_Feder  := cFeder * (s0Feder-s_Koerp);

 a_Koerp  :=(F_Feder+F_Flieh) / m_Koerp;

 v_Koerp  := Integral (a_Koerp);

 s_Koerp  := Integral (v_Koerp);


Energiebilanz als Methode der Modellverifizierung

Ein Grundproblem der Modellierung von Systemen mit nichtlinearen Energiespeichern ist ihre Verifizierung und Validierung. Im Teilprozeß der Verifizierung soll nachgewiesen werden, daß das Modell in sich widerspruchsfrei arbeitet. Insbesondere wenn ein Modell nichtlineare Speicherelemente enthält, ist es schwierig allein anhand des Modellverhaltens die Widerspruchsfreiheit festzustellen.

Ein wichtiges Kriterium der Widerspruchsfreiheit ist die Einhaltung des Energieerhaltungssatzes. Dieser besagt, daß die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems konstant bleibt.

Ein Grundanliegen des Teilmodellkonzeptes ist die unabhängige Modellbildung für abgrenzbare Teilsysteme. Die Modellverifzierung sollte also bereits auf dem Niveau des Teilmodells möglich sein. Ein Teilmodell mit energetischen Schnittstellen stellt jedoch ein offenes System dar. Der Kunstgriff besteht darin, aus dem Teilmodell und seiner (Blackbox-)Umgebung ein energetisch geschlossenes System zu bilden, dessen Energie dann konstant bleibt. Betrachtet wird nur die Energieänderung der Umgebung.

Für jedes energiespeichernde Element eines Teilmodells ist der aktuelle Energie-Inhalt zu ermitteln. Außerdem ist für die energetischen Schnittstellen die Menge der jeweils nach außen abgegebenen Energie zu berechnen.

Zur Verdeutlichung des Prinzips der Modellverifizierung mittels Energiebilanz soll das vorherige Beispiel des Fliehkraftsensors erweitert werden. Dazu sind für jeden Energie-Anteil zusätzliche Signalbezeichner im Teilmodell zu definieren:

{ Energie-Werte zur Verifizierung des Teilmodells        }

 WUmgebng : Energiefluss in die Umgebung       / W*s     ;

 WKinRot  : Kinetische Energie rot. Traegh.    / W*s     ;

 WKinLin  : Kinetische Energie rad. bew. Koerp / W*s     ;

 WPotFed  : Potentielle Energie der Feder      / W*s     ;

 WTeilSys : Gesamtenergie des Teilsystems      / W*s     ;

 WSystem  : Gesamtenergie bleibt konstant!     / W*s     ;

Speicher für potentielle Energie (z.B. Federn, Kraftfelder) haben oft zum Zeitpunkt t0 bereits einen Energiegehalt, der von den anliegenden Potentialgrößen bestimmt wird (z.B. Positionen). Dieser Anfangswert für die Energie muß im INIT-Abschnitt des Teilmodells berechnet werden. Für einfache Funktionen einer Kraftkennlinie kann die erforderliche Integral-Funktion noch analytisch berechnet werden. Bei beliebig gekrümmten Kraftkennlinien (z.B. aus der Messung) ist eine numerische Aufintegration des Energiegehalts notwendig. Im USAN ist die Funktion des Flächenintegrals jedoch nur im DYNAMIC-Abschnitt nutzbar. Deshalb muß man im INIT-Abschnitt über eine Iteration diese Integralbildung selbst vornehmen:

VAR

 i        : INTEGER;

 ds       : REAL;

INIT

{ Pot. Anfangsenergie eines Kraftelements bei beliebigen Kraftkennlinien }

 WPotFed  := 0; i:=0; ds:=(s0Feder-s_Koerp)/1000;

 WHILE i<1000 DO BEGIN { Wpot=Flaeche(F*ds) }

  i       := i+1;

  WPotFed := WPotFed + ds * cFeder * i*ds;

 END;

Die an einer energetischen Schnittstelle nach Außen geführte Energie berechnet man als die geleistete mechanische Arbeit:

Es wird ersetzt:

und erhält damit

.

Den aktuellen Wert einer kinetische Energie berechnet man ohne Integration direkt analytisch. Der DYNAMIC-Abschnitt wird im Beispiel also um folgende Anweisungen erweitert:

DYNAMIC

 :

{ Energiebilanz zur Verifizierung des Teilmodells}

 WUmgebng := Integral (-MAntrieb * omega);

 WKinRot  := omega*omega*J_gesamt*0.5;

 WKinLin  := v_Koerp*v_Koerp*m_Koerp*0.5;

 WPotFed  := Integral (-F_Feder*v_Koerp);

 WTeilSys := WKinRot + WKinLin + WPotFed;

 WSystem  := WTeilSys+WUmgebng;


Animation zur Veranschaulichung von Zuständen

Oft ist es schwierig, die aktuellen Zustände von Systemen mit nichtlinearen Speichern anhand von berechneten Signalverläufen zu interpretieren. Hierbei bietet die Animation mittels GRAFIC-Elementen eine sinnvolle Unterstützung. Allgemein versteht man unter Animation die Darstellung von aktuellen Zahlenwerten als Lage, Größe, Form, Farbe von grafischen Elementen.

Im einfachsten Fall widerspiegeln die Zahlenwerte geometrische Größen wie Position, Länge oder Winkel. Oft beschreiben mehrere Größen gemeinsam die aktuelle geometrische Lage und Größe von Körpern. Stellt man dies in etwas abstrahierter Form zusätzlich zu den Signalverläufen dar, so überblickt man sehr schnell z.B. den aktuellen geometrischen Zustand z.B. von Antriebselementen.

Dies wird am behandelten Beispiel des Fliehkraft-Sensors demonstriert. Im zusätzlich zum Signalfenster einblendbaren sogenannten Nutzerfenster sollen die Grundplatte und die Fliehkraftkörper als Kreise dargestellt werden. Die Federn sind durch Strecken symbolisiert:

Die Größe der Platte soll maßstäblich dem angegebenen Radius der Platte folgen. Die Größe der Fliehkraftkörper wird unabhängig von ihrer wahren Größe im Beispiel mit 1/10 der Plattengröße dargestellt. Das Prinzip der GRAFIC-Animation wird ausführlich in einem separaten Kapitel dieses Handbuches beschrieben.

Im GRAFIC-Abschnitt werden die benötigten Elemente definiert und es wird eine Verknüpfung mit den zu animierenden Größen hergestellt. Konstanten können hierbei nicht als Zahlenwerte vorgegeben werden, sondern müssen einen Bezeichner erhalten, der dann z.B. im CONST-Abschnitt definiert wird. Dies betrifft hier die Null.

Können die im Modell berechneten Größen nicht direkt für die Animation genutzt werden, so müssen entsprechende Hilfsgrößen vorgesehen werden. Dies sind hier die karthesischen Koordinaten der Fliehkraft-Körper, da die Simulation in einem Polar-Koordinatensystem stattfindet.

 :

CONST

 Null:REAL= 0;

VAR

 :

 rKoerp,xKoerp1,yKoerp1,xKoerp2,yKoerp2:REAL;

INIT

 rKoerp   := r_Platte/10;

 :

DYNAMIC

 :

{ Hilfskoordinaten für Animation                         }

 xKoerp1  :=-s_Koerp*sin(phi);   yKoerp1  := s_Koerp*cos(phi);

 xKoerp2  :=-xKoerp1;            yKoerp2  :=-yKoerp1;

GRAFIC

 _Kreis ('Platte' ,_Stat,Null   ,Null   ,r_Platte);

 _Kreis ('Körper1',_Dyn ,xKoerp1,yKoerp1,rKoerp);

 _Kreis ('Körper2',_Dyn ,xKoerp2,yKoerp2,rKoerp);

 _Linie ('Feder1' ,_Dyn ,Null   ,Null   ,xKoerp1  ,yKoerp1);

 _Linie ('Feder2' ,_Dyn ,Null   ,Null   ,xKoerp2  ,yKoerp2);

Bei der Animation muß nicht unbedingt eine geometrische Ähnlichkeit beachtet werden. So könnte man die Größe der Kreise für die Fliehkörper z.B. durch die aktuelle Auslenkung aus der Ruhelage steuern. Man sollte beachten, daß man die Animation nicht mit Details überlädt. Es sollte eine günstige Aufteilung der Informationsdarstellung zwischen Signalverläufen und Animation vorgenommen werden. Wenn es auf die genauen Zahlenwerte ankommt, sind ausmeßbare Signalverläufe sicher geeigneter. Geht es mehr um qualitative Merkmale von berechneten Größen, so kann man diese Information besser mittels Animation vermitteln.

Für stark nichtlineare Systeme bieten sich für die Animation z.B. Energieflüsse, Kraftwirkungen und Belastungen von Elementen an, da diese in Abhängigkeit vom Ort innerhalb des Systems und von der Ansteuerung des Systems in schwer voraussehbarer Weise schwanken können.


Magnetisierungskennlinie und Permeabilität

Die Änderung der Magnetisierung des Eisens ist abhängig von der Vorgeschichte des Eisens. Beim Auf- bzw. Abmagnetisieren entstehen Schleifen der Magnetisierungskurve, deren Breite von der Aussteuerung im Umkehrpunkt abhängt:

Die Nachbildung dieser Magnetisierungshysterese in Modellansätzen ist sehr aufwendig und noch nicht allgemeingültig gelöst. Für viele Anwendungsfälle genügt die Nachbildung der Neukurve oder einer angenäherten Kommutierungskurve. Es besteht dann ein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Flußdichte B und der Feldstärke H, der über eine Funktion für die relative Permeabilität µrel=f(B) dargestellt werden kann:

Vom USAN wird für diese Funktion ein gemischter Polynomansatz bereitgestellt:

Bei der Flußdichte Null besitzt das Eisen eine Anfangspermeabilität. Der Anstieg der Permeabilität von der Anfangspermeabilität ausgehend wird vor allem durch die Parameter c1 und exp1 bestimmt. Das Polynom im Nenner sorgt für die Verformung des Funktionsverlaufes in Richtung Sättigung (µrel=1).  Die Exponenten sind reelle Zahlen. Es sollten nur so viele Exponenten in die Nachbildung der µ(B)-Kennlinie einbezogen werden, wie unbedingt erforderlich sind. Bei der Parameter-Identifikation erkennt man überzählige Polynom-Anteile des Nenners an einem Auftreten gleicher Werte für unterschiedliche Exponenten. Entsprechend ist die Anzahl der Exponenten durch Nullsetzen der zugehörigen Koeffizienten Cn zu verringern (Siehe: Kennwerte für Eisenmaterialien).

Die relative Permeabilität wird durch die Sekante B/H zum Nullpunkt beschrieben. Zusätzlich benötigt man für genauere Modelle die differentielle Permeabilität, welche über die Tangente dB/dH definiert wird (Anstieg am aktuellen Arbeitspunkt).

Aus obiger Funktion für µrel(B) wurde über folgende Schritte eine Funktion dµrel(B)=dB/dH gebildet:

Nach Einsetzen der Funktion µrel(B) erhält man einen Ausdruck, der durch Anwendung der Quotientenregel nach der Flußdichte B ableitbar ist. Die Invertierung dieser Ableitung ergibt dann die gewünschte Funktion dµrel(B), welche die gleichen Parameterwerte für c1 bis c3 und exp1 bis exp3 besitzt wie die Funktion µrel(B). Der Funktionswert für B=0 ist bei beiden Funktionen gleich der relativen Anfangspermeabilität.

Vom USAN werden zur Zeit zwei Routinen für µrel(B) und zwei Routinen für dµrel(B) bereitgestellt. Diese unterscheiden sich nur durch die Möglichkeit, ein oder mehrere Eisenwerkstoffe innerhalb eines Modells zu nutzen. Die Kennlinien-Parameter des Eisens sind vor Aufruf der µrel(B)-Routinen den dafür bereitgestellten vordefinierten Variablen zuzuweisen (günstig im INIT-Abschnitt eines Teilmodells).

Aufruf:	my_Rel := _myRel (B); bzw. dmy_Rel := _dmyRel (B);

Parameter:	B

Vorgegebener aktueller Wert der Flußdichte [T].

Aufruf:	_myRel_B (myRel, B, FeNum); bzw. _dmyRel_B (dmyRel, B, FeNum);

Parameter:	myRel

Berechneter Wert für die relative Permeabilität bzw. differentielle Permeabilität.

B

Vorgegebener aktueller Wert der Flußdichte [T].

FeNum

Nummer des verwendeten Eisenmaterials (Siehe ´Kennwerte für Eisenmaterialien´).


Elektro-magnetischer Wandler

Der elektro-magnetische Wandler transformiert die elektrischen Größen Strom und Spannung einer ´idealen´ Spule in die magnetischen Größen der magnetomotorischen Kraft:

#	Der elektro-magnetische Wandler stellt die Wechselwirkung zwischen elektrischen und magnetischen Partialsystem her.

#	Auf der elektrischen Seite befindet sich die ideale Spule mit der Windungszahl W, ihre Wicklungsrichtung wird mittels eines Punktes gekennzeichnet. Diese ideale Spule besitzt keinen ohmschen Widerstand. Durch sie fließt der elektrische Strom i und es fällt darüber die elektrische Spannung u ab.

#	Auf der magnetischen Seite werden nur die magnetische Durchflutung [image] und die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses [image] betrachtet.

#	 hat die physikalische Einheit der elektrischen Spannung. Man kann mittels einer einzelnen Meßwindung durch Messung der induzierten Spannung den Wert der zeitlichen Ableitung des umfaßten Flusses direkt erfassen.

#	 hat die physikalische Einheit des elektrischen Stroms. Verwendet man wieder eine einzelne Meßwindung, so ist der gemessene Wert des Stroms gleich dem aktuellen Wert der magnetomotorischen Kraft.

Aus der Äquivalenz von elektrischen Größen und magnetischen Größen erkennt man, daß der elektromagnetische Wandler wie ein elektrischer Transformator mit dem Übersetzungsverhältnis w:1 wirkt. Die ´elektrischen´ Größen auf der Sekundärseite werden als magnetische Größen interpretiert.


Magnetische Widerstände

Bei Kenntnis des qualitativen Flußverlaufes kann ein Magnetkreis durch ein Netzwerk aus magnetischen Widerständen beschrieben werden. Diese einzelnen magnetischen Widerstände entsprechen jeweils einem geometrischen Teilkörper des magnetischen Kreises (Zylinder, Hohlzylinder, Kugelseqment usw.).

Die einzelnen Widerstandszweige sollten entlang der sogenannten Flußröhren angeordnet werden.

Der Begriff ´Magnetischer Widerstand´ ist etwas irreführend, da es sich nicht wie bei ohmschen Widerständen um Verlustelemente, sondern um Speicherelemente handelt. Die in der Literatur verwendete Symbolik für magnetische Widerstände und Leitwerte ist nicht einheitlich. Wir verwenden dafür die Assoziation zur Induktivität, indem das Widerstandssysmbol schwarz eingefärbt wird.

Wir unterscheiden zwischen magnetischen Widerständen im Luftraum und im Eisenkreis. Für ferromagnetische Materialien arbeitet man auf Grund der nichtlinearen Magnetisierungskennlinie auch mit den differentiellen magnetischen Widerstand:

1.	Magnetischer Widerstand:

#	Das Eisenmaterial wird im Symbol durch die zusätzliche Linie angedeutet.

#	Der Wert des magnetischen Widerstands eines Magnetkreisabschnittes läßt sich eindeutig aus seiner Geometrie, der Feldverteilung und der Magnetisierungskennlinie des Stoffes berechnen. Für den Zylinder in Richtung der Flußlinien eines homogenen Feldes gilt in Analogie zum ohmschen Widerstand:

 mit   [image].

#	Für den magnetischen Widerstand gilt ebenfalls in Analogie zum ohmschen Gesetz:

.

#	Dabei ist [image] die magnetische Spannung über dem Abschnitt des Magnetkreises.  ist der magnetische Fluß durch diesen Abschnitt.

2.	Differentieller magnetischer Widerstand:

#	Der differentielle magnetische Widerstand beschreibt den Zusammenhang zwischen der Änderung der magnetischen Spannung [image] und der Änderung des magnetischen Flusses [image]:

.

#	Nur für Abschnitte aus ferromagnetischen Stoffen unterscheidet sich der Wert des differentiellen magnetischen Widerstands vom ´einfachen´ magnetischen Widerstand.

#	Bei der Berechnung des differentiellen magnetischen Widerstands aus Stoff, Feld und Geometrie wird die differentielle magnetische Permeabilität verwendet:

     mit   [image].


Magnetische Energiespeicher

Unglücklicherweise hat man für die idealisierten konzentrierten Elemente der Magnetkreis-Abschnitte den Begriff ´magnetischer Widerstand´ bzw. ´magnetischer Leitwert´ geprägt. In Analogie zu den elektrischen Größen ´elektrischer Strom´ und ´elektrische Spannung´benutzt man die magnetischen Größen ´magnetischer Fluß´ und ´magnetische Spannung´:

Da nun auch noch die Analogie zum ohmschen Gesetz

.

gilt, wird das Denken automatisch in Richtung ´Berechnung von Widerstandsnetzwerken´ gelenkt.

Deshalb soll hier etwas ausführlicher der ´Abschnitt eines Magnetkreises´ als nichtlineares Speicherelement für Energie betrachtet werden. Ausgangspunkt ist die elektrische Induktivität als Speicherelement:

Die Analogie zu anderen nichtlinearen Energiespeichern ist im Abschnitt ´Veränderliche Energiespeicher (Physikalische Grundlagen)´ dieses Online-Handbuches beschrieben. Für die zeitveränderliche Induktivität gilt:

Die Zustandsgröße iL gewinnt man durch numerische Integration ihrer zeitlichen Ableitung. Zuvor muß man jedoch die zeitliche Änderung des Induktivitätswerts geeignet aufbereiten:

Die magnetischen Leitwerte (Einheit=Henry) als Reziprokwerte der magnetischen Widerstände (Einheit=1/H) kann man sich als Induktivitäten mit einer Windung um die umfaßte Flußröhre vorstellen.

Die in dieser Windung induzierte Spannung ist äquivalent zur Flußänderungsgeschwindigkeit [image] in der Flußröhre (Siehe ´elektromagnetischer Wandler´).

Der in der kurzgeschlossenen Windung fließende Strom ist äquivalent der magnetischen Spannung am betrachteten Abschnitt des magnetischen Kreises (entlang der Flußröhre). Damit erhält man die folgende Analogie der Größen an elektrischer Induktivität und magnetischem Leitwert:

Es gelten dann in analoger Weise die Grundbeziehungen für veränderliche Speicherelemente auch für den magnetischen Abschnittsleitwert:

Nach einigen Umformungen zeigt es sich, daß die Beziehungen am differentiellen magnetischen Widerstand die zeitlichen Änderungen des Energiespeichers mit erfassen:

Es gilt also auch bei veränderlichen magnetischem Widerstand uneingeschränkt

Vom physikalischen Verständnis her sind sowohl der magnetische Fluß als auch die magnetische Spannung Zustandsgrößen. Sie beschreiben den energetischen Zustand des magnetischen Speicherelements und können sich nicht sprunghaft ändern. Numerisch können sie durch Integration ihrer zeitlichen Ableitungen berechnet werden.

Da man in den magnetischen Netzwerken die Werte beider Zustandsgrößen benötigt, kann man entweder beide durch Integration ermitteln oder man berechnet nur eine mittels Integralbildung und ermittelt die andere Größe über die Beziehung am magnetischen Widerstand:

.

Auch diese Beziehung gilt uneingeschränkt bei veränderlichem Wert des magnetischen Widerstands.


Magneto-mechanischer Wandler

Der magneto-mechanische Wandler stellt die Wechselwirkung zwischen magnetischem und mechanischem Partialsystem her. Die Umwandlung von Energie des magnetischen Kreises in mechanische Energie findet an den in ihrer Geometrie veränderlichen magnetischen Luftabschnitten statt. Dabei handelt es sich üblicherweise um den sogenannten Arbeitsluftspalt des Magnetkreises. Grundlage der Kraftberechnung ist das Prinzip der virtuellen Verschiebung. Ändert sich der betrachtete magnetische Luftabschnitt in seiner Ausdehnung um ds, so wird an der bewegten Trennfläche eine mechanische Arbeit

verrichtet. Es wird davon ausgegangen , daß der Luftabschnitt auf beiden Seiten von Eisenabschnitten begrenzt ist, so daß die Änderung der magnetischen Energie im Luftspalt praktisch vollständig in mechanische Energie an der bewegten Trennfläche umgesetzt wird. Die Abnahme der magnetischen Energie infolge Volumenverkleinerung des Luftraums in Richtung des Weges s berechnet sich zu

.

und kann gleich der verrichteten mechanischen Arbeit gesetzt werden. Die Zunahme der magnetischen Energie infolge gleichzeitiger Volumenvergrößerung wird vernachlässigt, da sich die Permeabilitäten um einen Faktor >100 unterscheiden. Ersetzt man die Flußdichte B durch den Fluß pro Fläche, so erhält man

.

Zwar ändert sich während der Bewegung auch der magnetische Fluß durch den betrachteten Luftraum, aber diese Flußänderung wird überwiegend durch Vorgänge im gesamten Magnetkreis hervorgerufen. Der Anteil der Flußänderung, der durch die Bewegung um ds selbst hervorgerufen wird, kann praktisch vernachlässigt werden. Bei der Bildung der Ableitung nach dem Weg kann man deshalb den Fluß als unabhängig vom Weg s annehmen:

.

Man erhält den Ausdruck für die Berechnung der Kraft in einem Luftabschnitt in Richtung der Bewegung:

.

Im folgende Bild steht RdLuft für die Ableitung des Luftwiderstandes nach dem Weg:


Geschlossener Eisenkreis (Beispiel)

Um in einem ersten Beispiel das Grundprinzip der Berechnung magnetischer Kreise mit Hilfe von Abschnittsleitwerten zu demonstrieren, wird der einfachste Fall des geschlossenen Eisenkreises angenommen. Damit erspart man sich bis auf das Streufeld der Spule die Behandlung des Luftraums.

Der Eisenkreis soll überall den gleichen Querschnitt besitzen. Der magnetische Widerstand des gesamten Eisenkreises setzt sich aus den magnetischen Widerstanden von vier Abschnitten zusammen. Dies sind zwei Halbhohlzylinder und zwei Zylinder. Diese Elemente sind im USAN als Funktionsaufrufe implementiert.

Für das Streufeld der Spule ist ein Widerstand vorzusehen, welcher parallel zum Eisenkreis liegt und damit einen Teil des Gesamtflusses aufnimmt. Entstehen durch die Geometrie des Eisenkreises weitere Streuflüsse, so sind diese durch weitere Parallelwiderstände zu berücksichtigen. Der magnetische Streuwiderstand der Spule ist ebenfalls als Funktion im USAN implentiert. Vereinfacht werden hier statt der rechteckigen Windungen kreisförmige angenommen. Als Raum für den Spulenstreuwiderstand wird der Wickelraum des Drahtes angenommen. Der Streuwiderstand der Spule ändert sich zeitlich nicht und wird deshalb im INIT-Abschnitt berechnet.

INIT

     {====================================================================={|

     | 0. Initialisierung von Anfangswerten und zeitunabhaengiger Groeszen {|

     |---------------------------------------------------------------------{|

     }  _my_B0   := my_B0;       _my_c2   := my_c2;     myRel  := my_B0;   {|

     }  _my_c1   := my_c1;       _my_c3   := my_c3;                        {|

     }  _My_exp1 := my_exp1;     _my_exp2 := my_exp2;  _my_exp3:= my_exp3; {|

     }   A_Quer  := d_Paket * b_Paket; IF A_Quer=0 THEN A_Quer:=1E-20;     {|

     }   Rm_Spule:=_Streu_ZylinderKreisSpule(da_Spule,di_Spule,h_Spule);   {|

     |====================================================================={}

DYNAMIC

     {====================================================================={|

     | 1. Berechnung der Magnetkreis-Abschnitte                            {|

     |---------------------------------------------------------------------{|

     }   Rm_Eisen:= 2*_Fe_Zylinder (0,A_Quer,L_Seite,myRel,ph_Eisen);      {|

     }   Rd_Eisen:= 2*_dRFe;         {zugehöriger differentieller Widerstand|

     }   Rm_Eisen:= Rm_Eisen+ 2*_Fe_HalbHohlZylinder{                      {|

     |                         }(0,a_Innen,b_Paket,d_Paket,myRel,ph_Eisen);{|

     }   Rd_Eisen:= Rd_Eisen+2*_dRFe;{gesamter differentieller Widerstand   |

     |---------------------------------------------------------------------{|

     | 2. Elektro-magnetischer Wandler                                     {|

     |---------------------------------------------------------------------{|

     }   iSpule  := TH_Spule / n_Spule;                                    {|

     }   php     := (uSpule - iSpule * re_Spule) / n_Spule;                {|

     |---------------------------------------------------------------------{|

     | 3. Magnetisches Netzwerk                                            {|

     |---------------------------------------------------------------------{|

     }   phpEisen:= php*Rm_Spule/(Rm_Spule+Rd_Eisen); {Stromteiler-Regel   {|

     }   ph_Eisen:= Integral (phpEisen);                                   {|

     }   TH_Eisen:= Integral (Rd_Eisen*phpEisen);                          {|

     }   TH_Spule:= TH_Eisen;                                              {|

     |---------------------------------------------------------------------{|

     | 4. Flußdichte und Feldstärke zur Darstellung der Magn.Kennlinie     {|

     |---------------------------------------------------------------------{|

     }   B_Eisen := ph_Eisen / A_Quer;                                     {|

     }   H_Eisen := B_Eisen/(my0*myRel);                                   {|

     |=====================================================================|}

Bei der Berechnung des Eisenwiderstandes wird die nichtlineare Magnetisierungskennlinie µ=f(B) des Eisens berücksichtigt. Der Wert von Rm_Eisen eine Funktion der magnetischen Flußdichte und muß während der DYNAMIC-Rechnung ständig aktualisiert werden.

Wird eine USAN-Funktion zur Berechnung des magnetischen Eisenwiderstandes aufgerufen, so steht nach dem Aufruf der Funktion in der vordefinierten Variablen _dRFe der aktuelle Wert des zugehörigen differentiellen magnetischen Widerstands zur Verfügung. Die vier differentiellen Teilwiderstände werden additiv zum gesamten differentiellen magnetischen Widerstand des Eisenkreises Rd_Eisen zusammengefaßt.

Der differentielle magnetische Widerstand bildet zusammen mit der Flußänderungsgeschwindigkeit die Grundlage für die Berechnung der Zustandsgröße ´magnetischen Spannung über dem Eisenkreis´. Die magnetische Spannung über dem Streuwiderstand der Spule besitzt den gleichen Wert, so daß auf eine separate Integration verzichtet werden kann.

Die Berechnung des magnetischen Flusses erfolgt durch Integration der Flußänderungsgeschwindigkeit.

Die gesamte Durchflutung (die MMK) des Magnetkreises hat den gleichen Wert wie die Summe aller Spannungsabfälle über dem magnetischen Kreis (hier nur TH_Eisen). Über die Wandlerbeziehungen ergibt sich aus dieser Durchflutung der elektrische Strom durch den Spulendraht. Der elektrische Strom bewirkt einen Spannungsabfall am ohmschen Widerstand des Spulendrahtes. Die resultierende Spannung auf der elektrischen Seite des idealisierten Wandlers induziert eine Flußänderungsgeschwindigkeit im Magnetkreis.

Für die Ableitungen der magnetischen Flüsse gilt die Stromteilerregel, jedoch unter Verwendung der differentiellen magnetischen Widerstände in den Zweigen. Der differentielle magnetische Widerstand der Streuwiderstands der Spule ist gleich seinem magnetischen Widerstand, da µ=konstant=µ0 ist.


Grundstruktur des Elektromagneten (Beispiel: EI-Magnet)

Das folgende Beispiel wurde der Literatur entnommen und entsprechend der eigenen Modellierungssicht und den Möglichkeiten des USAN umgestaltet. Die Originalansätze finden Sie in

Jonas, G.:	Berechnen elektrischer Maschinen - über magnetische Abschnittleitwerte., S.83ff.
Berlin: VDE-Verlag, 1997.

Das Beispiel wurde gewählt, weil die Geometrie des EI-Magnetkerns es gestattet, mit einer relativ einfachen Ersatzschaltung das dynamische Verhalten des Magneten hinreichend genau nachzubilden. Die verwendete Ersatzschaltung werden Sie als Grundstruktur beliebiger Elektromagnet-Geometrien wiederfinden.

Anker und Kern bestehen aus Elektroblech V530-50A nach DIN 46400. Für dieses Material wurden die Koeffizienten und Exponenten der my(B)-Kennlinie identifiziert:

_my_c1 = 9.3076	_my_exp1 = 0.82943

_my_c2 = 0.4578	_my_exp2 = 2.403

_my_c3 = 0.04308	_my_exp3 = 12.0

_my_B0=629.87

Infolge der Symmetrie des Magnetkreises können gleiche Abschnitte beider Symmetriehälften jeweils zu einem Widerstandselement zusammengefaßt werden.

Die Entwicklung der Ersatzschaltung sollte man prinzipiell mit dem elektromagnetischen Wandler beginnen. Auf der elektrischen Seite müssen die Windungszahl W und der Wicklungssinn der Spule berücksichtigt werden. Eine zusätzliche Beschaltung der Spule ist im Modell nicht erforderlich, wenn nur der Anzugsvorgang untersucht werden soll. In jedem Fall ist jedoch der ohmsche Widerstand re_Spule des Spulendrahtes zu berücksichtigen, dessen Widerstandswert von der Temperatur des Drahtes abhängig ist.

Auf der magnetischen Seite des Wandlers liegt die gesamte magnetische Durchflutung über dem Schaltsymbol der MMK an

Für das zu untersuchende magnetische Netzwerk gelten die Knoten- und Maschengleichungen sowie die Wandlerbeziehungen

Die Berechnung der magnetischen und differentiellen magnetischen Widerstände der Eisenabschnitte erfolgt auf Basis von Zylinderkörpern, wobei alle Zylinderteilkörper den gleichen Querschnitt AFe besitzen. Dies ist der effektive Eisenquerschnitt unter Berücksichtigung der Isolierschichten (Füllfaktor=0.94) zwischen den Blechen:

Der Luftspalt wird ebenfalls als zylindrischer Körper betrachtet:

Für die Berechnung dieser Zylinderlemente stehen entsprechende USAN-Funktionen zur Verfügung.

Der Streuwiderstand der Spule wurde in diesem Beispiel nicht aus der Geometrie berechnet sondern gemessen. Der Meßwert (2.89E6 1/H) enthält zusätzlich noch Streuwiderstände zwischen Abschnitten des Eisenkreises, die in der obigen Ersatzschaltung nicht erfaßt wurden.

Der Eisenverlustwiderstand, der Wirbelstrom- und Ummagnetisierungsverluste erfaßt, wurde ebenfalls durch Messung ermittelt (0.0128 Ohm).

Die magnetischen Spannungen an den Eisenabschnitten und am Streuwiderstand sind über die magnetischen Widerstände mit den magnetischen Flüssen verknüpft:

Nach Erweiterung der Ausdrücke mit dt gilt also auch:

Achtung: 	Die obigen Beziehungen am differentiellen Widerstand gelten nicht an den Abschnitten des veränderlichen Luftspalts, da dort ein Energieaustausch mit der Umgebung des Magneten erfolgt. Aus dieser Umwandlung in bzw. aus mechanischer Energie resultiert ein Anteil der magnetischen Spannungsänderung:

Da der Streuwiderstand einen Luftabschnitt repräsentiert gilt:

Es gilt zwar der Knotenpunktsatz für die [image] - Größen. Leider ist dieser jedoch etwas kompliziert in seiner Anwendung, da sich in dem einen Zweig nichtlineare Widerstände befinden (Rm(B) und RL(s)). Für die Anwendung der Knotengleichung auf die Flußänderung wird im folgenden die Herleitung erläutert:

Daraus kann man mittels

den Flußteiler wie folgt notieren

Der zweite Ausdruck im Zähler stellt die Flußänderungsgeschwindigkeit dar, welche durch die Luftspaltbewegung hervorgerufen wird:

Damit ergibt sich für die gesuchte Ableitung des Flusses durch den Luftspaltzweig:

Aus den Flußänderungsgeschwindigkeiten kann man durch Integration die magnetischen Flüsse ermitteln:

Über die Beziehungen am magnetischen Widerstand kann man aus den Flüssen die magnetischen Spannungen berechnen. Man kann diese Spannungen aber auch aus ihren zeitlichen Ableitungen durch numerische Integration gewinnen, indem man die Beziehungen an differentiellen magnetischen Widerstände nutzt. Letzteres wird im Teilmodell-Beispiel angewendet.

Die Magnetkraft entsprechend der Gesetzmäßigkeiten des magneto-mechanischen Wandlers als Kraft auf Trennflächen berechnet:

.

Von dem zugehörigen Teilmodell werden an dieser Stelle nur die Berechnungsabschnitte abgebildet:

INIT

     {====================================================================={|

     | 0.1. Setzen von Anfangswerten der my(B)-Kennlinie                   {|

     |---------------------------------------------------------------------{|

     }     _my_B0    := myrelAnf;         _my_c1    := c_my1;              {|

     }     _my_exp1  := exp_my1;          _my_c2    := c_my2;              {|

     }     _my_exp2  := exp_my2;          _my_c3    := c_my3;              {|

     }     _my_exp3  := exp_my3;                                           {|

     |---------------------------------------------------------------------{|

     | 0.2. Initialisierung geometrische und funktionelle Groessen         {|

     |---------------------------------------------------------------------{|

     }       L_FeMitt:= 7*aEI/12;          L_FeAuss := 17*aEI/12;          {|

     }       AFe     := kFeFuell * aEI/3*hPaket;                           {|

     |====================================================================={}

DYNAMIC

     {====================================================================={|

     | 1. Berechnung der Magnetkreis-Abschnitte                            {|

     |---------------------------------------------------------------------{|

     }       RmFeAuss:=_Fe_Zylinder (0,AFe,L_FeAuss,myFeAuss,phm_Auss);    {|

     }       RdFeAuss:=_dRFe;                                              {|

     }       RmFeMitt:=_Fe_Zylinder (0,AFe,L_FeMitt,myFeMitt,phm);         {|

     }       RdFeMitt:=_dRFe;                                              {|

     |---------------------------------------------------------------------{|

     | 2. Elektro-mechanischer Wandler                                     {|

     |---------------------------------------------------------------------{|

     }       RmLuft  :=_Luft_Zylinder (AFe,s_Anker) * 2;                   {|

     }       RdLuft  :=_dRLuft * 2;                                        {|

     }       F_Magnet:= 0.5*sqr(phm_Auss)*RdLuft*(-1);{ 'rechte' Seite!    {|

     |---------------------------------------------------------------------{|

     | 3. Elektro-magnetischer Wandler                                     {|

     |---------------------------------------------------------------------{|

     }       i       := 0;                                                 {|

     }       REPEAT  { Iteration, da ThWirbel=F(ThWirbel) } i:=i+1;        {|

     }        ThWirbel:= phpm/reWirbel;                                    {|

     }        iSpule  := (ThWirbel+V_FeMitt+V_FeAuss+V_Luft)/wSpule;       {|

     }        phpm    := (U0-iSpule*reSpule)/wSpule;                       {|

     }       UNTIL   i=10;                                                 {|

     |---------------------------------------------------------------------{|

     | 4. Magnetisches Netzwerk                                            {|

     |---------------------------------------------------------------------{|

     }       phpBeweg:=phm_Auss*RdLuft*v_Anker / RmStreu;                  {|

     }       php_Auss:=   (phpm-phpBeweg) /    {                           {|

     |              }  {--------------------}  {                           {|

     |              }  (1 + (RmLuft+RdFeAuss)/ {                           {|

     |              }       {---------------}  {                           {|

     |              }            RmStreu)      ;                           {|

     }       phm     := Integral(phpm);                                    {|

     }       phm_Auss:= Integral(php_Auss);                                {|

     }       V_FeMitt:= Integral(phpm    *RdFeMitt);                       {|

     }       V_FeAuss:= Integral(php_Auss*RdFeAuss);                       {|

     }       V_Luft  := Integral(php_Auss*RmLuft +v_Anker*RdLuft*phm_Auss);{|

     {=====================================================================|}


Energiebilanz des Elektromagneten (Beispiel: EI-Magnet)

Für das Beispiel des EI-Magneten soll gezeigt werden, wie man die Energiebilanz für solch ein Teilsystem aufstellt. Grundlage ist die folgende Ersatzschaltung für das betreffende Beispiel:

Es sind drei Kategorien von energetischen Komponenten zu unterscheiden:

1.	An den Schnittstellen mit der Umgebung ausgetauschte Energie:

#	elektrische Energie mit dem Netzteil

#	mechanische Energie mit dem Mechanik-Teilsystem

Achtung:	Energie, welche aus dem Teilsystem herausfließt, muß mit einem positiven Vorzeichen versehen sein. Das bedeutet konkret, daß die vom Netzteil erhaltene Energie ein negatives Vorzeichen tragen muß!

2.	In den Verlustelementen des Teilsystems umgesetzte Energie:

#	Verlustenergie infolge ohmschen Widerstand des Spulendrahts

#	Verlustenergie im Eisen infolge Wirbelstrom und Ummagnetisierung

Achtung:	Verlustenergien müssen immer ein positives Vorzeichen besitzen, da sie nie wieder aus dem Verlustelement herauskommen.

3.	In den Speicherelementen des Teilsystems gespeicherte Energie:

#	Energie im Eisen des Mittelstegs

#	Energie im Eisen des Außenschenkels (einschlieslich Anker)

#	Energie im Streufeld der Spule (und weiterer Streufelder)

#	Energie im Luftspalt

Achtung:	Gespeicherte Energie besitzt immer ein positives Vorzeichen.

Die Summe aller Teil-Energien (Schnittstelle plus Teilsystemelemente) muß konstant bleiben. Die Teil-Energien berechnet man während der DYNAMIC-Rechnung durch Integration der jeweiligen Teil-Leistungen:

Elektrische Energie

Mechanische Energie

Wirbelstrom-Verluste

Magnet-Energie


Grundlagen (Parameterfindung)

Sollen innerhalb des konstruktiven Entwicklungsprozesses die numerischen Fähigkeiten von Computern genutzt werden, so benötigt man numerische Modelle, welche auf die jeweiligen Problemstellungen zugeschnitten sind. Numerische Modelle beschreiben auf unterschiedlichste Art und Weise für abgegrenzte Systeme die Qualität und die Quantität der Elemente und ihrer Relationen.

Manche dieser Modelle werden während der Arbeit mit dem Computer weitestgehend automatisch erstellt. Dies betrifft z.B. CAD/CAM-Modelle. Dazu gehören im allgemeinen auch FEM-Modelle. Die grafischen Interaktionen des Nutzers führen dabei zum Aufbau einer Strukturbeschreibung (Qualität). Die geometrisch-stofflichen Parameter (Quantitäten) konfigurieren die erzeugte Strukturbeschreibung für das konkrete zu behandelnde Objekt (Originalsystem).

Für viele Anwendungsfälle, besonders für die Simulation des dynamischen Verhaltens mechatronischer Systeme, kann man Modelle auf der Basis konzentrierter idealisierter Elemente aufbauen (Punktmassen, Elastizitäten, ohmsche Widerstände, elektrische Induktivitäten usw.). Als Parameter für die konzentrierten Elemente kann man oft die Werte der entsprechende Baulemente oder Komponenten verwenden (z.B. 5 kg, 2 N/mm, 10 Ohm, 3 mH usw.). Wenn man in einem Simulationssystem auf fertige Modellbausteine zurückgreifen kann (z.B. für einen konkreten Motor) so wird meist über den Bezeichner des Modellbausteins ein kompletter Satz von Modellparametern automatisch bereitgestellt.

Komplizierter wird die Bereitstellung von Parametern für ein Modell mit nichtlinearen Elementen, wenn die dafür benötigten Modellbausteine zuvor erst entwickelt werden müssen. Das Übertragungsverhalten eines nichtlinearen Elements ist abhängig von den anliegenden Potential- bzw. Flußgrößen oder auch der Zeit. Für manche Elemente sind diese Abhängigkeiten schon hinreichend genau erforscht und können durch einfache Funktionen beschrieben werden. Ein typisches Beispiel dafür ist die Temperaturabhängigkeit des ohmschen Widerstands eines Leiters. Der Temperaturkoeffizient beschreibt in der Funktion

den Wert des ohmschen Widerstands auch bei einer von 20°C abweichenden Temperatur. Es wird hierbei von der Annahme ausgegangen, daß sich der ohmsche Widerstand linear mit der Temperatur ändert, was in einem gewissen Arbeitsbereich hinreichend genau zutrifft. Da es sich um einen altbekannten Zusammenhang handelt, beschränkt sich die Parameterfindung für den Temperaturkoeffizienten meist auf ein Nachschlagen in Tabellen mit Materialkennwerten. Findet man darin den speziellen Leiterwerkstoff nicht, so kann man den Wert des Temperaturkoeffizienten durch einfache Messungen am konkreten Widerstand berechnen.

Parameterfindung:	Ein Zusammenhang zwischen mehreren physikalisch-technischen Größen (=Effekt) kann qualitativ als mathematische Funktion (im weitesten Sinne!) beschrieben werden. Den Prozeß der Bereitstellung der Parameter für diese mathematische Funktionen bezeichnet man als Parameterfindung.


Ersatzfunktionen für Effekte (Parameterfindung)

Leider sind viele Effekte, welche in Modellen feinwerktechnischer Antriebe nicht vernachlässigt werden können, nur unzureichend erforscht. Dies betrifft z.B. die Phänomene der mechanischen Reibung oder die Magnetisierung von Eisenwerkstoffen in Magnetkreisen. Je nach Kenntnisstand zu dem betreffenden Effekt bildet man die Abhängigkeiten über geeignete mathematische Funktionen ab.

Beispiel: Reibung:

Man beachte, daß die Funktion so gewählt wurde, daß die benötigten Parameter physikalisch-technischen Kennwerten ausgewählter Punkte entsprechen (Geschwindigkeiten, Reibwerte). Für die Nutzung von Modellansätzen im Ingeneurbereich sollte dies immer angestrebt werden!

Beispiel: Magnetisierung:

Beim Auf- bzw. Abmagnetisieren von Eisen entstehen Schleifen der Magnetisierungskurve, deren Breite von der Aussteuerung in den Umkehrpunkten abhängt:

Die Nachbildung dieser Magnetisierungshysterese ist sehr aufwendig und noch nicht allgemeingültig gelöst. Für viele Anwendungsfälle genügt die Nachbildung der Neukurve , welche praktisch mit dem Verlauf der Kommutierungskurve übereinstimmt. Es besteht dann ein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Flußdichte B und der Feldstärke H, der über eine Funktion µrel=f(B) dargestellt werden kann:

Dieser Verlauf kann durch einen gemischten Polynom-Ansatz nachgebildet werden:

Bei der Flußdichte Null besitzt das Eisen eine Anfangspermeabilität. Der Anstieg der Permeabilität bis zu ihrem Maximalwert wird vor allem durch die Parameter c1 und exp1 bestimmt. Den Übergang in den absteigenden Teil der Funktion bschreiben die Parameter c2 und exp2. Der letzte Teil der Funktion, welcher für große Flußdichten gegen 1 konvergiert, wird durch c3 und exp3 beschrieben.

Die Parameter für diesen Modellansatz sind weitestgehend abstrakte Koeffizienten, nur die Anfangspermeabilität besitzt eine physikalisch-technische Entsprechung.

Fazit:	Es lassen sich beliebig viele mathematische Funktionen definieren, welche einen Zusammenhang zwischen mehreren physikalisch-technischen Größen nachbilden.
Die Parameter dieser mathematischen Funktionen dienen primär nur zur Erzielung des gewünschten Funktionsverlaufes und haben im allgemeinen keine physikalisch-technische Entsprechung.
Es sollten bevorzugt Funktionen genutzt werden, deren Parameter physikalisch-technische Entsprechungen aufweisen.


Parameterfindung und Modellvalidierung

Vom Konstrukteur wird eine verantwortungsvolle Durchführung der Parameterfindung erwartet! Die im Simulationsmodell berücksichtigten Effekte beeinflussen das Verhalten des Simulationsmodells entscheidend. Durch Einstellung geeigneter Parameter für die effektbeschreibenden Modellansätze ist man fast immer in der Lage, ein mangelhaftes Modell in Übereinstimmung mit einzelnen durchgeführten Messungen zu bringen. Deshalb ist die Parameterfindung streng zu trennen von der Modellvalidierung!

Modellvalidierung:	Nachweis der Glaubwürdigkeit des Modellverhaltens für einen bestimmten Einsatzbereich des Modells (bei dynamischen Modellen meist durch Vergleich von berechneten und gemessenen Signalverläufen für unterschiedliche Betriebsbedingungen).

Da die Parameterfindung sich immer auf Modellansätze für einzelne Effekte bezieht, sollte man bei der Planung der durchzuführenden Messungen versuchen, die betreffenden Effekte weitestgehend zu isolieren.

Es sollten für die Parameterfindung und die Modellvalidierung unterschiedliche numerische Modelle und Versuchsstände verwendet werden. Ideal für die Parameterfindung sind Modelle isolierter Effekte, welche von sämtlichem nicht benötigten Beiwerk befreit sind. Dies soll im folgenden am Beispiel der Parameterfindung für die Magnetisierungskennlinie von Eisenwerkstoffen beschrieben werden.


Einfacher Magnetkreis (Parameterfindung)

Elektromagnete gestatten den Aufbau robuster Antriebssysteme. Infolge des anhaltenden Trends zur Miniaturisierung und Verringerung der Schaltzeiten ist es notwendig, den Effekt der nichtlinearen Eisenmagnetisierung bei der optimalen Auslegung von Magnetantrieben zu berücksichtigen. Ein typischer feinwerktechnischer Magnetantrieb hat einen relativ geschlossenen Eisenkreis mit einem Arbeitsluftspalt, einem Restluftspalt und einer Spule:

Bei Kenntnis des qualitativen Flußverlaufes kann ein Magnetkreis durch ein Netzwerk aus einzelnen magnetischen Widerständen beschrieben werden. Diese einzelnen magnetischen Widerstände entsprechen jeweils einem geometrischen Teilkörper des magnetischen Kreises. Die einzelnen Widerstandszweige müssen entlang der sogenannten Flußröhren angeordnet werden. Handelt es sich um einen relativ geschlossenen Eisenkreis, so sieht das einfachste Netzwerk für den magnetischen Kreis wie folgt aus:

Rm_Streu entspricht hierbei ungefähr dem magnetischen Streuleitwert der Spule. Die mittels der Spule erzeugte magnetische Spannung i*w speist den magnetischen Kreis. Der Eisenweg kann zu einem magnetischen Widerstand R_Eisen zusammengefaßt werden, wenn das Material überall den gleichen Querschnitt aufweist und keine Verzweigungen besitzt. Bei Inhomogenitäten des Eisenkreises muß man R_Eisen z.B. aus einer Reihenschaltung einzelner Teilwiderstände zusammensetzen.

Der magnetische Widerstand des gesamten Luftspaltes (Arbeits- plus Restluftspalt) kann zu einem Widerstand R_Luft zusammengefaßt werden. Die Größe des Luftspaltes ändert sich durch die Bewegung des Ankers.

Für das Streufeld der Spule ist ein Widerstand vorzusehen, welcher parallel zum Eisenkreis liegt und damit einen Teil des Gesamtflusses aufnimmt. Entstehen durch die Geometrie des Eisenkreises weitere Streuflüsse, so sind diese durch weitere Parallelwiderstände zu berücksichtigen. Näherungsweise kann man den Streuwiderstand als konstant annehmen.

Zur Berechnung der Widerstandswerte der Eisenwiderstände muß meist die nichtlineare Magnetisierungskennlinie des Eisens zu berücksichtigt werden, da der Wert von R_Eisen eine Funktion der magnetischen Flußdichte ist.


Effektisolierung (Parameterfindung Magnetisierungskennlinie)

Die Permeabilität des Eisens ist keine direkt meßbare Größe. Die von den Werkstoffherstellern bereitgestellten Magnetisierungskennlinien sind für den interessierenden Bereich der Eisenaussteuerung oft nicht nutzbar:

Deshalb ist man meist auf eigene Messungen angewiesen. Es sollte eine Meßanordnung gewählt werden, welche den Effekt der nichtlinearen Permeabilität möglichst isoliert zu erfassen gestattet. Leider fehlen innerhalb von feinwerktechnischen Betrieben für die direkte Messung der magnetischen Größen Flußdichte und Feldstärke im Eisenmaterial meist die meßtechnischen Voraussetzungen. Günstig ist deshalb die Messung rein elektrischer Größen am elektromagnetischen Wandler.

Betrachtet man die elektrische Seite eines E-Magneten, so erscheint infolge der nichtkonstanten Permeabilität die Induktivität der Spule als eine Funktion des elektrischen Stromes. Dies erkennt man nach Anlegen einer Spannung deutlich in einer Verformung des Stromanstiegs im Vergleich zu einer konstanten Induktivität im folgenden Bild:

Der Zusammenhang zwischen aktuellem Strom in der Spule und aktuellem magnetischem Widerstand des Eisenkreises kann über ein dynamisches Modell des magnetischen Wandlers vermittelt werden. Günstig ist dabei der Aufbau eines speziellen Eisenkreises ohne Luftspalt, um Modellungenauigkeiten infolge mangelnder Erfassung von Streuwiderständen zu verringern. Das Ersatzschaltbild des magnetischen Kreises kann dann noch weiter vereinfacht werden:

Ideal wäre ein ringförmiger Eisenkreis mit rundem Querschnitt und Toroidspule. Der Fertigungsaufwand (insbesondere für die Wicklung der Spule) ist jedochbedeutend höher als bei der obigen, im Praktikum verwendeten Kernform.

Vor Durchführung der Messung sollte der Eisenkreis entmagnetisiert werden. Falls der Eisenkreis eine Trennfuge aufweist, genügt oft schon ein Trennen beider Kernhälften. Ist dies nicht möglich oder auf Grund von Genauigkeitsanforderungen nicht ausreichend, so muß sorgfältig eine Entmagnetisierung im abklingenden Wechselmagnetfeld vorgenommen werden.

Gemessen wird der Stromanstieg nach Anlegen einer definierten Betriebsspannung an die Spule des Magneten. Die Spannung ist so hoch zu wählen, daß der durch den ohmschen Widerstand der Spule begrenzte Strom das Eisenmaterial möglichst bis zur Sättigung aussteuert.


Minimalmodell zur Parameterfindung

Für die Magnetisierungskennlinie des Eisens werden die Parameter für die Funktion µ=f(B) gesucht. Dafür benötigt man ein Modell des Magnetkreises. Dieses sollte nur die Partialsysteme und Effekte enthalten, welche für die Nachbildung der zur Parameterfindung gewählten Meßanordnung unbedingt erforderlich sind. So kann der mechanische Teil des magnetischen Wandlers im Modell völlig entfallen. Auch wird keine elektrische Schutzbeschaltung im Modell benötigt, da nur der Einschaltvorgang betrachtet wird.

Das bereitgestellte USAN-Teilmodell verwendet für die Berechnung der magnetischen Widerstände vordefinierte Funktionen:

TITEL

  Magnet    : Eisenkreis (Spalt=0) f. Parameterfindung  (MAGNET0);

  AUTOR     : Dr.Kamusella, TU Dresden, Institut fuer Feinwerktechnik (IFWT);

  DATUM     : 26.05.1997;

PARAMETER                                                                   {

 ?-->|}  FeParm.my_B0    : Anfangswert myrel(Eisen)   =  ?     /       ;    {

 ?-->|}  FeParm.my_c1    : Anstiegsparameter bis µMax =  ?     /       ;    {

 ?-->|}  FeParm.my_c2    : Abfallparameter  nach µMax =  ?     /       ;    {

 ?-->|}  FeParm.my_c3    : Abfallparameter Endbereich =  ?     /       ;    {

 ?-->|}  FeParm.my_exp1  : Anstiegsexponent bis µMax  =  ?     /       ;    {

 ?-->|}  FeParm.my_exp2  : Abfallexponent  nach µMax  =  ?     /       ;    {

 ?-->|}  FeParm.my_exp3  : Abfallexponent Endbereich  =  ?     /       ;    {

      ----------------------------------------------------------------------{

 ?-->|}  MagGeo.L_Seite  : Laenge gerade Seite                 / m     ;    {

 ?-->|}  MagGeo.d_Paket  : Dicke  Blechpaket                   / m     ;    {

 ?-->|}  MagGeo.b_Paket  : Breite Blechstreifen                / m     ;    {

 ?-->|}  MagGeo.a_Innen  : Innenabstand Schenkel               / m     ;    {

 ?-->|}  MagGeo.h_Spule  : Hoehe  Spulenwicklung               / m     ;    {

 ?-->|}  MagGeo.di_Spule : Innendurchm. Wicklung               / m     ;    {

 ?-->|}  MagGeo.da_Spule : Auszendurchm.Wicklung               / m     ;    {

 ?-->|}  MagGeo.n_Spule  : Windungszahl der Spule              /       ;    {

 ?-->|}  MagGeo.re_Spule : el.Widerstand Spule (incl. Meßwid.) / Ohm   ;

SIGNALE                                                                     {

 --->|}         uSpule   : Spulenspannung                      / V     ;    {

 <---|}         iSpule   : Spulenstrom                         / A     ;    {

      ----------------------------------------------------------------------{

 <---|}         myRel    : myrel des Eisenmaterial             /       ;    {

 <---|}         B_Eisen  : magn. Fluszdichte im Eisenkreis     / T     ;    {

 <---|}         H_Eisen  : magn. Feldstaerke im Eisenkreis     / A/m   ;    {

 <---|}         Rm_Eisen : Widerstand gesamter Eisenkreis      / 1/H   ;    {

 <---|}         Rm_Spule : Streuwiderstand der Spule           / 1/H   ;    {

 <---|}         TH_Eisen : Durchflutung des Eisenkreises       / A     ;    {

 <---|}         TH_Spule : Streudurchflutung der Spule         / A     ;    {

 <---*}         ph_Eisen : Magnetflusz durch Eisenkreis        / Wb    ;    {

 <---*}         ph_Spule : Streuflusz der Spule                / Wb    ;    {

 <---|}         phpEisen : Flusz-Aenderung im Eisenkreis       / V     ;    {

 <---|}         phpSpule : Flusz-Aenderung in der Spule        / V     ;    {

      ----------------------------------------------------------------------

 ?-->|}         k_Relax  : Relax.faktor (Flußverzweigung)      /       ;

VAR             A_Quer   { Querschnittsflaeche Eisenkreis      / m^2  }:REAL;

INIT

     {   Initialisierung von Anfangswerten und zeitunabhaengiger Groeszen: {|

     }  _my_B0   := my_B0;                             myRel   := my_B0;   {|

     }  _my_c1   := my_c1;     _my_c2   := my_c2;     _my_c3   := my_c3;   {|

     }  _my_exp1 := my_exp1;   _my_exp2 := my_exp2;   _my_exp3 := my_exp3; {|

     }   A_Quer  := d_Paket * b_Paket; IF A_Quer=0 THEN A_Quer:=1E-20;     {|

     }   Rm_Spule:=_Streu_ZylinderKreisSpule(da_Spule,di_Spule,h_Spule);   {}

DYNAMIC

     {  }Rm_Eisen:= 2*_Fe_Zylinder (0,A_Quer,L_Seite,myRel,ph_Eisen){      {|

     |            }+2*_Fe_HalbHohlZylinder{                                {|

     |                         }(0,a_Innen,b_Paket,d_Paket,myRel,ph_Eisen);{|

     |---------------------------------------------------------------------{|

     }   B_Eisen := ph_Eisen / A_Quer;                                     {|

     }   H_Eisen := B_Eisen/(my0*myRel);                                   {|

     }   TH_Eisen:= ph_Eisen * Rm_Eisen;                                   {|

     }   TH_Spule:= ph_Spule * Rm_Spule;                                   {|

     }   iSpule  := TH_Spule / n_Spule;                                    {|

     }   phpSpule:= (TH_Eisen-TH_Spule) * k_Relax;                         {|

     }   ph_Spule:= INTEGRAL(phpSpule);                                    {|

     }   phpEisen:= (uSpule - iSpule * re_Spule) / n_Spule - phpSpule;     {|

     }   ph_Eisen:= INTEGRAL(phpEisen);                                    {|

     |---------------------------------------------------------------------|}


Vergleich: Messung und Simulation (Parameterfindung)

Für die Durchführung der Parameterfindung benötigt man ein Modell, welches das synchrone Abspielen von gemessenen und simulierten Signalverläufen gestattet. In unserem Beispiel handelt es sich hierbei um den Verlauf des Spulenstroms nach Anlegen einer Betriebsspannung an die Spule. Mittels der vom USAN bereitgestellten Funktionen zur ASCII-Tabellverarbeitung ist ein entsprechendes Einlese-Teilmodell für den gemessenen Spulenstrom einfach zu realieren:

TITEL

 EinSchlt : Einschaltstrom durch Magnetspule          (EINSCHLT);

 AUTOR    : Dr.Kamusella, TU Dresden,Institut f. Feinwerktechnik;

 DATUM    : 30.05.1997;

PARAMETER

 Nr       : 1..99 = ASCII-File EINSCHLT.T01-99  /     ;

 Masstab  : Maßstab für Spulenstrom             /     ;

 Offset   : Offset  des Spulenstroms            / A   ;

 Zeit_Ofs : Offset zur Synchronisation mit Sim. / s   ;

ERGEBNIS

 iSpule   : Strom über Spule und Meßwiderstand  / A   ;

SIGNALE

 i_Spule  : Strom über Spule und Meßwiderstand  / A   ;

CONST

 Lese_1x  = 1; { 1->Signal nach Modellauf noch i.RAM }

 Signal   : Tabelle = NIL;

INIT

 iSpule   :=0; { Hilfsgröße -> i_Spule als SIGNAL-Ausgang }

{-----------------------------------------------}

{ Initialisieren der benötigten Tabellenspalten }

{-----------------------------------------------}

_InitTab (Signal  , t       , Zeit_Ofs , 1         , 1 {lin. });

_InitTab (Signal  , iSpule  , Offset   , Masstab   , 1 {lin. });

{-----------------------------------------------}

{ Einlesen der benötigten Tabellenspalten       }

{-----------------------------------------------}

_OpenTab (Signal  , 1 {=MessDatn}, Nr {=.Txx }, Lese_1x);

DYNAMIC

{-----------------------------------------------}

{         TabVar  , Abszisse , Abszissenwert    }

{-----------------------------------------------}

_ReadTab (Signal  , t        , t       );

 i_Spule:=iSpule;

FINISH

_CloseTab (Signal  , Lese_1x);

Zielstellung ist das Finden von Modellparametern, welche eine möglichst gute Übereinstimmung zwischen gemessenem und simulierten Stromverlauf bewirken. Dafür nutzt man sinnvoller Weise einen Optimierungsoperator. Der zu minimierende Gütewert ist die kumulierte Abweichung zwischen gemessenem und simulierten Stromverlauf:

TITEL

  Guete    : Fehlerquadrat-Flaeche                     (GUETE);

  AUTOR    : TU Dresden, Institut fuer Feinwerktechnik (IFWT);

  DATUM    : 30.05.1997;

SIGNALE

      {====================================================================={

 --->|}         X_Soll   : Sollwert                            /       ;    {

 --->|}         X_Ist    : Istwert                             /       ;    {

 <---|}         Wert     : Fehlerquadrat-Flaeche               /       ;    {

 <---|}         X_Diff   : Differenz Soll-Ist-Wert             /       ;    {

      |=====================================================================}

DYNAMIC

                X_Diff   := X_Soll-X_Ist;

                Wert     := INTEGRAL(sqr(X_Diff));

Man benötigt also folgende Modellstruktur zur Durchführung der Parameterfindung:


Prozeß der Parameterfindung bei existentem Modell

Ist das Minimal-Modell für die Parameterfindung erstellt und sind alle übrigen noch für das Modell benötigten Parameter mit den richtigen Werten versehen, so gestaltet sich der Prozeß der Parameterfindung am Beispiel der Magnetisierungskennlinie wie folgt:

(1)	Durchführung der Messung lt. Meßanleitung:
Im Ergebnis der Messung muß ein ASCII-File EINSCHLT.Tnn vorliegen, in dem der gemessene zeitliche Verlauf des Spulenstroms iSpule gespeichert ist. Dieses File ist in das Signal-Archiv für die Parameterfindung EISEN zu speichern.

(2)	Abspielen des Meßsignals parallel zur Modellrechnung:
Nach Start von USAN und SIMUDYN ist das Teilmodell EINSCHLT so zu konfigurieren, daß die Wiedergabe des Meßsignals zeitlich synchron zum Modell und im richtigen Maßstab erfolgt. Wichtig ist auch die Offset-Korrektur des gemessenen Stromverlaufs. Der Zeitbereich der Modellrechnung ist entsprechend zu wählen.
Damit das Modell numerisch stabil arbeitet, sollte eine konstante relative Permeabilität my_B0=1 (my_c1..3=0 und my_exp1..3=0) gewählt werden. Für re_Spule ist ein Schätzwert größer Null einzutragen.

(3)	Ermittlung des wirksamen Spulenwiderstands zum Meßzeitpunkt:
Der ohmsche Widerstand der Spule ist abhängig von der aktuellen Draht-Temperatur. Da diese für den Zeitpunkt der Messung nicht genau bekannt ist, muß der aktuelle Widerstand des Spulendrahts aus der angelegten Betriebsspannung und dem sich einstellendem Endstrom berechnet werden. Der wirksame Spulenwiderstand ergibt sich durch Addieren des verwendeten Meßwiderstands.
Wenn der wirksame Widerstand richtig ermittelt wurde, müssen die sich einstellenden Endströme von Messung und Simulation gleich sein.

(4)	Schätzwerte für zu findende Parameter der Magnetisierungskennlinie:
Mittels Einflußanalyse können ausgehend von my_B0 sowie my_exp1=0.5, my_exp2=3 und my_exp3=14 die Koeffizienten my_c1 bis my_c3 so eingestellt werden, daß sich der simulierte Einschaltstrom ungefähr so verhält wie der gemessene Einschaltstrom. Hierbei sollte man nur eine sehr grobe Näherung anstreben.

(5)	Nutzung des Optimierungsoperators zur Parameterfindung:
Der Grad der Übereinstimmung zwischen simuliertem und gemessenem Einschaltstrom ist ein Kriterium für die Güte des gefundenen Parametersatzes. Diesen Grad der Übereinstimmung zwischen den beiden Signalverläufen kann man z.B. durch die Bildung der Fehlerquadrat-Fläche einfach erfassen. Diese Fläche kann direkt als Gütewert für die Optimierung genutzt werden, da eine minimale Abweichung zwischen den Signalverläufen gesucht wird.
Als Optimierungsvariablen sind die zu findenden Parameter zu markieren. Die dabei anzugebenden Grenzen werden gleichzeitig im Sinne von Restriktionen behandelt. Es sind demzufolge Suchbereiche vorzugeben, die eine physikalisch sinnvolle Magnetisierungskennlinie ergeben (z.B. nur positive Werte).
Günstig ist das Hooke-Jeeves-Verfahren mit maximal 1000 Optimieruingsschritten. Mittels laufparalleler Diagramm-Ausgabe kann der Fortschritt der Parameterfindung gut beobachtet werden. Die Optimierung kann abgebrochen werden, wenn sich keine weitere Verbesserung der Güte mehr ergibt. Das gefundene Optimum ist zu übernehmen.
Wenn einzelne Optimierungsvariable sich einem vorgegebenen Grenzwert genähert haben, so muß die entsprechende Grenze ausgeweitet werden (falls dies physikalisch sinnvoll ist), die Optimierung ist dann erneut zu starten.

(6)	Überprüfung der gefundenen Parameter:
Starten Sie den Simulationsoperator mit den gefundenen Optimalwerten und bewerten Sie das resultierende Modellverhalten im Vergleich zur Messung.
Die relative Permeabilität des Eisens kann als Funktion der Flußdichte dargestellt werden, so daß man den Funktionsverlauf von µRel(B) direkt betrachten kann.


Idealisierte PID-Übertragungsfunktion

Zur Durchführung von grundlegenden Untersuchungen zum Verhalten eines geregelten Antriebssystems genügt es meist, den Regler als idealisierte Übertragungsfunktion zu modellieren. Dabei werden sämtliche Effekte der technischen Realisierung eines Reglers (z.B. Begrenzung, Zeitverzögerungen, Taktzeiten u.a.) vernachlässigt:

Aus den Reglerparametern:

lassen sich weitere wichtige Kenngrößen ableiten:

Die Umsetzung in Form eines Teilmodells ist nicht aufwendig, bringt jedoch infolge des D-Anteils einige numerische Probleme mit sich:

:

VAR

  dydt:CHAR;{Differentiator)

INIT

  dydt    := DifferentialName;

DYNAMIC

  yDiff   := Differential (Td*x,t,0,dydt);

  yInt    := Integral (x/Ti);

  y       := K*(x + yInt + yDiff);

Die einfache Form der Differentation wird im USAN als Differenzenquotient zwischem aktuellem Integrationsschritt und vorherigem Integrationsschritt gebildet. Es werden dabei die Werte bei IntAnfang=TRUE genutzt. Damit ist der berechnete Wert der Ableitung immer um die aktuelle Integrationsschrittweite verzögert. Außerdem ergeben Sprünge der abzuleitenden Funktion eine Nadelimpulsamplitude entsprechend der aktuellen Integrationsschrittweite.

Die qualifiziertere Form der numerischen Differentation realisiert die Ableitung zwar stetig, aber mit einer einstellbaren Zeitkonstante. Die Umsetzung der idealen PID-Funktion als Teilmodell ändert sich dadurch nur unwesentlich:

:

VAR

  dydt:CHAR;{Differentiator)

INIT

  dydt    := Differentiator (dtDiff); { mit Standard-Zeitkonstante }

DYNAMIC

  yDiff   := Td*Differentiation (x,t,0,dydt);

  yInt    := Integral (x/Ti);

  y       := K*(x + yInt + yDiff);

Soll eine Übertragungsfunktion mit PID-Verhalten schaltungstechnisch realisiert werden, so kann dies sowohl mit einer analogen Schaltung auf der Basis eines Operationsverstärkers als auch als getaktetes System geschehen:

Bei höheren Ansprüchen an die Modellgenauigkeit müssen die Effekte der technischen Realisierung eines Reglers (z.B. Begrenzung, Zeitverzögerungen, Taktzeiten u.a.) im Modell mit berücksichtigt werden!


PI-Glied mit Operationsverstärker

Mit Hilfe eines Operationsverstärkers (OV) läßt sich sehr einfach eine Schaltung realisieren, welche als PI-Glied in einem Regelkreis nutzbar ist:

Für einen OV kann man die Spannung am Eingang zu 0V annehmen. Außerdem ist der Eingangsstrom in den OV vernachlässigbar.

Dies vereinfacht die Modellbildung wesentlich. Es gilt dann i1=iC und uA=uC+uR2. Damit ergibt sich folgendes Teilmodell:

 :

INIT                  { Setzen des Anfangswertes für uA(t0) }

 uA       :=  -u1*R2/R1+uC;

 IF abs(uA) > uMax THEN uA:=sign(uA)*uMax;{ Begrenzung des OV }

DYNAMIC

 i1       := -u1/R1;

 uA       :=  R2*i1+uC;

 IF abs(uA) > uMax THEN BEGIN { Begrenzung des OV }

  uA      :=  sign(uA)*uMax;

  i1      := (uA - u1 -uC) / (R1+R2);

 END;

 iC       :=  i1;

 uC       :=  Integral (iC/C);

Solange der OV nicht begrenzt, wird der Strom durch die Widerstände und die Kapazität durch die angelegte Eingangsspannung u1 bestimmt. Infolge uE=0 bestimmt dabei allein R1, welcher Strom bei einer bestimmten Eingangsspannung fließt.

Dies ist nicht mehr der Fall, wenn der OV begrenzt. Da die Ausgangsspannung uA, die Eingangsspannung uE und die Zustandsgröße Kondensatorspannung uC vorgebenen sind, ergibt sich der aktuelle Stromfluß aus der über den Widerständen R1+R2 verbleibenden Spannung.

Der Betrag der Kondensatorspannung kann größer werden als die Begrenzerspannung. Das Problem der Begrenzung des OV besteht darin, daß es sehr lange dauern kann, bevor der Kondensator sich wieder so weit entladen hat, daß das PI-Glied den Eingangsspannungsänderungen wieder folgen kann. Dies sehen Sie am Beispiel eines PI-Gliedes mit R2=0, welches mit einem Sinussignal gespeist wird. Ohne Begrenzung ergeben sich sowohl am Kondensator als auch am Ausgang ideale Cosinus-Verläufe. Nach Eintritt der Begrenzung triftet die Spannung am Kondensator weg:

Da die Ausgangsspannung uA über eine Funktion direkt mit der Zustandsgröße uC verknüpft ist, handelt es sich praktisch ebenfalls um eine Zustandsgröße. Damit die Ausgangsspannung wie eine Zustandsgröße behandelt werden kann, wird ihr Wert bereits im INIT-Abschnitt berechnet. Zusätzlich erfordert diese Art der Modellierung eine zusätzlich Modelldurchrechnung bei jedem Aufruf des Modells durch die numerische Integration, damit der aktuelle Wert der uA=f(uC) berechnet werden kann.


D-Glied mit Operationsverstärker

Meist wird der D-Anteil einer Reglerschaltung als PD-Glied mit der Verstärkung=1 realisiert. Ein PD-Glied kann dann in Reihe zu einem PI-Glied geschaltet werden. Im folgenden Beispiel soll reines D-Glied ohne P-Anteil betrachtet werden. Solch ein D-Glied liefert nur eine Ausgangsspannung<>0, solange sich die Eingangsspannung ändert:

Dieses Übertragungsverhalten gilt jedoch nur, solange die maximal mögliche Ausgangsspannung des OV nicht überschritten ist.

Die OV-Schaltung mit ihrer direkt am Eingang liegenden Kapazität ist nur als numerisches Modell beschreibbar, wenn der Eingangsstrom mittels eines zusätzlichen sehr kleinen Widerstandswert R1 begrenzt wird. Dieser zusätzliche Widerstand existiert auch in der Realität als Leitungswiderstand.

Infolge der zulässigen Idealisierungen bei Einsatz eines OV ist die Modellierung dieser Schaltung relativ einfach. Es gilt dann i1=iC=iR2 und uA=uC+uR2. Damit ergibt sich folgendes Teilmodell:

 :

INIT         { Setzen Anfangswert uA(t0) }

 ua       := (u1+uc)*R2/R1;

 IF ua > uMax THEN ua:=sign(ua)*uMax;

DYNAMIC

 i1       :=-(u1 + uc)/R1;

 ua       :=  u1 + i1*R1 + uc + i1*R2; { =(u1+uC)*R2/R1 }

 uC       :=  Integral (i1/C);

 IF abs(ua) > uMax THEN ua:=sign(ua)*uMax;

Die Begrenzung der Ausgangsspannung durch den OV hat keinen Einfluß auf den Ladestrom des Kondensators.

Da die Ausgangsspannung uA über eine Funktion direkt mit der Zustandsgröße uC verknüpft ist, handelt es sich praktisch ebenfalls um eine Zustandsgröße. Damit die Ausgangsspannung wie eine Zustandsgröße behandelt werden kann, wird ihr Wert bereits im INIT-Abschnitt berechnet. Zusätzlich erfordert diese Art der Modellierung eine zusätzlich Modelldurchrechnung bei jedem Aufruf des Modells durch die numerische Integration, damit der aktuelle Wert der uA=f(uC) berechnet werden kann.

Das folgende Bild zeigt die Differentation einer gleichgerichteten Wechselspannung:


Abtast- und Halteglied

Zeitgetaktete Systeme verarbeiten Folgen von Zahlenwerten. Es ist also notwendig, ein analoges Eingangssignal in eine Folge von Zahlenwerten umzuwandeln. Dazu muß eine AD-Wandlung durchgeführt werden.

Dem eigentlichen AD-Wandler vorgelagert ist immer ein Verstärker mit dem Verstärkungsfaktor kEingang. Dieser dient zur Anpassung der Signalpegel des Eingangssignals an den Wandlerbereich.

Die Erfassung der Werte des Eingangssignals erfolgt nur zu den vorgegebenen Taktzeitpunkten. Die Änderungen des Eingangssignals zwischen den Abtast-Zeitpunkten werden von dem System nicht erfaßt (Sample & Hold).

Bei der AD-Wandlung findet eine Begrenzung statt (im Beispiel [1,+1]) und es wird je nach Auflösung des Wandlers eine Inkrementierung des Eingangssignals vorgenommen. Bei 8 Bit Auflösung hat man z.B. maximal 256 Zahlenwerte zur Abbildung des Eingangssignals.

Die Anzahl der Inkremente entspricht nach der verwendeten Definition der Anzahl der Stufungen mit der Breite deltaXi:


Integral-Bildung in zeitgetakteten Systemen

Die zeitkontinuierliche Integration

kann ersetzt werden durch eine Summenbildung zu den durch dtTakt vorgegebenen diskreten Zeitpunkten

.

Diese Rechenaufgabe kann man auf Basis des Z-Gliedes einfach in ein Blockschaltbild überführen:

Das Blockschaltbild kann dann in Teilmodell-Anweisungen transformiert werden:

Die diskreten Signalverläufe sehen Sie im folgenden Bild im Vergleich zur zeitkontinuierlichen Integration:


Differentation in zeitgetakteten Systemen

Das Differential

wird überführt in den Differenzenquotienten

 .

Auch dafür läßt sich mit Hilfe des Z-Gliedes eine Rechenschaltung entwickeln:


PID-Glied in zeitgetakteten Systemen

Nach Behandlung der Umsetzung des Integrals und des Differentials soll nun gezeigt werden, wie man einen Differentialgleichungsansatz für ein Übertragungsglied in eine Rechenschaltung mit Z-Gliedern transformiert.

Ausgangspunkt ist im Beispiel die Differentialgleichung des PID-Algorithmus:

Die stetige Eingangsfunktion x(t) wird durch eine Zahlenfolge xi und das Integral durch eine Summe ersetzt. Das Differential wird durch den Differenzenquotienten ersetzt:

Wird ein PID-Glied als Regler verwendet, so muß die Regelstrecke eine Zustandsgröße enthalten, da ansonsten infolge der Rückkopplungsschleife Schwingen auftritt.

Im folgenden Teilmodell-Ansatz wird sowohl die Umsetzung des kontinuierlichen Ansatzes als auch der getakteten Rechenschaltung gezeigt:


Expertensystem als Regler

Die klassische Regelungstechnik gestattet den Entwurf von Reglern für Prozesse, die noch hinreichend linear sind. Steigt infolge der Komplexität der zu beeinflussenden Regelstrecke deren Nichtlinearität, wird es immer schwieriger, eine geeigneten stabilen Regelkreis zu entwerfen und zu dimensionieren.

Das Verhalten der Regelstrecke wird mit wachsender Nichtlinearität aus der Sicht des Reglers immer schwieriger vorhersehbar. Es genügt nicht mehr, auf der Basis einiger weniger Ersatzparameter der Regelstrecke diese zu beeinflussen. Notwendig wird die Implementierung eines hinreichend genauen Ersatzmodells zur Ermittlung der jeweils angemessenen Reaktion des Reglers.

Der Aufwand für die Implemtierung eines dynamischen Modells der Regelstrecke einschließlich der benötigten echtzeitfähigen automatisierten Simulations- und Optimierungstools würde für die meisten Anwendungen beim derzeitigen Stand der Technik ins Unermeßliche steigen.

Günstig ist deshalb die Nutzung eines Expertenmodells, welches Wissen darüber beinhaltet, wie der Regler unter verschiedenen Bedingungen auf die Regelstrecke einwirken sollte. Der Regler muß nicht wissen, wie die komplexe Regelstrecke im Einzelnen funktioniert. Der Regler braucht nur zu wissen, wie er in bestimmten Situationen angemessen auf die Regelstrecke einwirken muß!

Nun ist es natürlich unmöglich, alle möglichen Situationen im Detail exakt zu beschreiben, da der Regler praktisch mit unendlich vielen von den Sensoren gemessenen Parameterkombinationen konfrontiert wird.

Die Evolution der menschlichen Sprache hat ein Werkzeug geschaffen, welches in der Lage ist, Situationen qualitativ zu beschreiben und damit die Komplexität auf ein überschaubares und verarbeitbares Maß zu reduzieren. Verbale Modelle mit sogenannten linguistischen Variablen bilden die Grundlage, Expertenwissen über das jeweils angemessene Reglerverhalten in einen Regler zu implementieren:

Innerhalb des Regelkreises erfolgt eine Transformation der quantitativen Meßgrößen (z.B. 5 m/s) in Qualitäten (z.B. schnell) zugehöriger linguistischer Variable (z.B. Geschwindigkeit). Aus dem in der Wissensbasis gespeicherten Expertenwissen wird dann für die Stellgrößen (z.B. Energiezufuhr) eine angemessene Qualität ermittelt (z.B. verringern). Für die Einwirkung auf die Regelstrecke muß aus dieser Qualität dann wieder ein konkreter Wert für die zugehörige Stellgröße erzeugt werden (z.B. -1.3 A/s).

Um solch einen Regler mit Hilfe eines Mikrorechners zu realisieren, muß die geschilderte Informationsverarbeitung algorithmisiert werden. Die Grundlage dafür bildet die 1965 von dem Mathematiker Lotfi A. Zadeh entwickelte Theorie der unscharfen Mengen (Fuzzy Sets). Da man die Operationen auf Mengen (Durchschnitt, Vereinigung, Komplement) auch als logische Operationen (UND, ODER, NOT) interpretieren kann, spricht man auch von unscharfer Logik (Fuzzy Logic).


Linguistische Variable, Fuzzy-Mengen, Fuzzyfizierung

Für jede direkte oder indirekte Meßgröße sowie für jede Stellgröße gibt es in der menschlichen Sprache einen Bezeichner, der etwas über die physikalisch-technische Bedeutung dieser Größe aussagt (z.B. Temperatur, Strom, Regelabweichung, Änderungsgeschwindigkeit). Beschränkt man sich bei der Zuordnung von Werten für diese Größen auf Qualitäten wie hoch, niedrig, positiv, negativ, erhöhen, verringern usw., so spricht man von linguistischen Variablen.

Die möglichen Werte einer linguistischen Variablen sind Wörter /Ausdrücke der natürlichen Sprache und werden als Terme bezeichnet. Man schreibt z.B.

Regelabweichung={positiv,null,negativ}.

Diese Terme stehen als Bezeichner für die unscharfen Mengen (Fuzzy Sets). Ein FUZZY-Set beschreibt den Grad der Zugehörigkeit (0..1) des konkreten Wertes der Basisvariablen zu dem qualitativen Term der linguistischen Variablen. Für jeden Term einer linguistischen Variablen ist ein FUZZY-Set zu konstruieren. Die Basisvariable ist dazu auf den Wertebereich [-1,+1] zu normieren.

Die FUZZY-Sets bilden die Grundlage für die Fuzzyfizierung, d.h. die Zuordnung der konkreten Meßwerte (der Basisvariable) zu den Qualitäten (Termen) der zugehörigen linguistischen Variable.

Bei der Fuzzyfizierung wird jedem Term der linguistischen Eingangsvariablen auf Grund des konkreten Wertes der Meßgröße ein Wert zugeordnet, den man sich als Grad der Zugehörigkeit zu diesem Term vorstellen kann:

Bei der Definition der FUZZY-Sets (Zugehörigkeitsfunktionen) für eine linguistische Variable sollten folgende Konventionen beachtet werden:

1.)	Jede Zugehörigkeitsfunktion muß mindestens einmal den Wert 1 annehmen.

2.)	Die Summe aller SET-Werte einer linguistischen Variablen über einem Wert der Basisvariablen muß den Wert 1 ergeben.

Möglich sind im Rahmen dieser Konventionen beliebige Funktionsverläufe. Günstig sind z.B. auch trapezförmige Rampenfunktionen.


Regelbasis (Wissensbasis)

Die Regelbasis beinhaltet menschliches Erfahrungswissen über die Zusammenhänge zwischen den Qualitäten der Meßgrößen und den notwendigen Veränderungen der Stellgrößen im Sinne der Regelungsaufgabe.

Dazu muß man durch Analysen der Regelstrecke gewisse Zustände identifizieren. Nimmt man z.B. einen Containerkran, so sind solche Zustände u.a. schnelle Fahrt, Lastausschlag in Bewegungsrichtung, Abstand zum Ziel groß. Beschrieben werden diese Zustände durch linguistische Variable und ihre Terme. Die Anzahl und Art der linguistischen Variablen richtet sich nach den meßbaren Eingangsgrößen und den beeinflußbaren Stellgrößen (Ausgangsgrößen). Das Erfahrungswissen um die günstigsten Reaktionen auf markante Systemzustände wird formuliert auf der Basis logischer Verknüpfungen zwischen den Werten der linguistischen Eingangsgrößen und den linguistischen Ausgangsgrößen. Für die Verknüpfung verwendet man in der Regelungstechnik meist den UND-Operator.

Regel = Wenn Bedingung, dann Aktion.

z.B.

Wenn Lastwinkel null UND Abstand groß, dann schnelle Fahrt vorwärts).

1.)	Die Regelbasis verknüpft für jede lingustische Ausgangsgröße (z.B. Fahrtgeschwindigkeit, -beschleunigung) sämtliche Wertekombinationen der Terme aller linguistischen Eingangsgrößen miteinander.

2.)	Die Regelbasis muß vollständig und in sich widerspruchsfrei sein.

Das folgende Beispiel zeigt einen Containerkran-Antrieb:

Die linguistischen Eingangsvariablen sind dabei der Ziel-Abstand={groß,gering,null} und der Lastwinkel={positiv groß, positiv klein, null, negativ klein, negativ groß). Ein positiver Lastwinkel beschreibt ein Vorauseilen der Last. Die linguistische Ausgangsvariable ist die Laufkatzen-Bewegung={schnell vorwärts, langsam vorwärts, stop, langsam rückwärts, schnell rückwärts}. Eine günstige Regelbasis für diesen Containerantrieb lautet:

(Dieses Beispiel stammt aus Fuzzy Logic am Praxisbeispiel  von C.Altrock veröffentlicht in SPEKTRUM DER WISSENSCHAFT Heft 3/1993 S.94-97)


Inferenz

Die Inferenzmaschine bildet das menschliche Schlußfolgerungsverhalten nach. Für die aktuellen qualitativen Werte (Terme) der Beobachtungsgrößen (linguistische Eingangsvariablen) wird auf der Basis des gespeicherten Erfahrungswissens (Regeln) ein aktueller Handlungsvorschlag abgeleitet.

Dazu werden sämtliche Regeln der Regelbasis abgearbeitet und damit Werte für die Terme der linguistischen Ausgangsvariablen berechnet.

Da das UND in der menschlichen Sprache einer kontextabhängigen Unschärfe unterliegt, gibt es auch in der FUZZY-Logik verschiedene Realisierungen des UND-Operators. Bei einer üblichen Realisierung wird als Ergebniswert der Minimalwert der Operanden benutzten.

z.B.:

WENN Abstand.groß UND Lastwinkel.null, DANN Bewegung.schnell vorwärts

wird realisiert als

Bewegung.schnell vorwärts := MIN ( µ(Abstand.groß), µ(Lastwinkel.null) )

Da die Terme der Ausgangsvariablen bei der Abarbeitung der verschiedenen Regeln der Regelbasis jeweils unterschiedliche Werte erhalten, erfolgt die endgültige Wertzuordnung für die einzelnen Terme der Ausgangsvariablen über eine ODER-Verknüpfung. Diese entspricht der Zuordnung des Maximalwertes. Jeder Term der linguistischen Ausgangsvariablen

(z.B. Bewegung={schnell vorwärts, langsam vorwärts, stop, langsam zurück, schnell zurück}

erhält also von der Regel den Ergebniswert, welche von allen Regeln den größten Wert liefert. Die Terme der linguistischen Ausgangsvariablen besitzen danach jeweils Werte im Intervall [0,1].

Als Ergebnis der Inferenz der Inferenz steht als Expertenempfehlung bereit, in welchem Maße man z.B. schnell oder langsam vorwärts bzw. rückwärts fahren sollte.

Ist die Regelbasis in sich widersprüchlich, könnte z.B. als Ergebnis der Inferenz folgende Wertebelegung für die linguistische Ausgangsvariable Bewegung vorliegen:

Bewegung = {0.7, 0.3, 0, 0.4, 0.6}

Es würde in diesem Beispiel mit ungefähr gleicher Wichtung empfohlen, sich vorwärts als auch rückwärts zu bewegen.

Eine widerspruchsfreie Regelbasis liefert eine Empfehlung mit einem eindeutigen Schwerpunkt, z.B. bewege dich mit einem Wert zwischen langsam und schnell vorwärts:

Bewegung = {0.8, 0.7, 0.1, 0, 0}


Defuzzyfizierung

Nach der Inferenz hat jeder Term jeder linguistischen Ausgangsvariablen einen konkreten Wert. Die Gesamtheit dieser Werte kann man als qualitative Expertenempfehlung interpretieren. Es soll also z.B. in einem gewissen Maße sowohl positiv, als auch negativ und garnicht beschleunigt werden.

Aus dieser unscharfen Meinung über die angemessene Reaktion des Reglers werden mit den Verfahren der Defuzzyfizierung konkrete Werte für die Ausgrößen (Stellgrößen) gebildet.

Die exakte Verfahrensweise beruht auf der Ermittlung des Schwerpunktes der durch die Ausgangsfuzzymenge eingeschlosssenen Fläche. Als Wert für die auf [-1,+1] normierte Ausgangsgröße wird der Abszissenwert des Schwerpunktes verwendet:

Diese Schwerpunkt-Ermittlung erfordert jedoch einen relativ hohen Berechnungsaufwand. Für die praktische Anwendung genügt völlig die schnelle Defuzzifizierung über die Gewichte der Term-Werte der linguistischen Ausgangsvariablen. Dazu nutzt man die Analogie des Wägebalkens:

Die Berechnung des konkreten Ausgangswertes erfolgt dann über eine einfache Formel:


Energetische Schnitstellen an Elementen der Mechanik
Energetische Schnittstellen an Elementen der Mechanik

Nach einer Teilsystemabgrenzung können folgende energetische Schnittstellen an den konzentrierten Elementen der Mechanik existieren:

An einem starrem Körper wird stets die Kraft als Ursache für die daraus resultierende Bewegungsänderung angesehen. Auf Grund dieser Gestaltung der energetischen Schnittstellen ist es nicht möglich, die Oberflächen zweier starrer Massekörper numerisch direkt miteinander in Wechselwirkung treten zu lassen:

Es bedarf immer der vermittelnden Wirkung eines Kraftelements  [image].

Reale Körper sind nie ideal starr. Selbst sehr harte Körper werden in geringem Maße deformiert, wenn man eine Kraft auf sie einwirken läßt. Die Oberflächenverformbarkeit kann idealisiert als ein konzentriertes Kraftelement mit elastischen bzw. dämpfenden Eigenschaften betrachten.

Für die Modellierung bildet man das jeweils benötigte Kraftelemente durch eine Kombination der konzentrierten Elemente Spiel, Dämpfer und Feder nach:


Weicher Stoß

Unter einem Stoßvorgang soll eine relativ weiche Berührung zweier Körperoberflächen (elastisch, teilweise elastisch, plastisch) verstanden werden.

Nach einem plastischen Stoß verbleiben z.B. beide Körper in Kontakt und bewegen sich gemeinsam weiter, bis sie durch äußere Kräfte getrennt werden.

Zur Behandlung von Stoßvorgängen wird oft die Hertz´sche Stoßtheorie herangezogen:

Da diese Stoßtheorie allein nur eine Federkomponente ohne Energieverluste (rein elastischer Stoß) beinhaltet, bewirken die Stoßkräfte F periodische Schwingungen, was aber nicht dem realen Verhalten des Stoßes entspricht. Zur Ergänzung der Hertz´schen Stoßtheorie wird deshalb noch eine Dämpfungskomponente eingeführt, die den Energieverlust des Stoßes berücksichtigt.

Aus den experimentiellen Erfahrungen und in Verbindung mit den elasto-plastischen Kontaktkraftgesetzen wurde folgendes Stoß-Modell ausgearbeitet:

Die Federkraft FF  ist von der Eindringtiefe [image] zwischen zwei stoßenden Körpern abhängig. Anstatt des Exponenten 0.5 sind auch andere Werte dafür möglich. In der Freiflugphase ist die elastische Kraftkomponente Null:

Für die Dämpfungskraft FD unterscheidet man während der Berührung der Körperoberflächen in Abhängigkeit von der Geschwindigkeitsdifferenz v zwei Fälle: die Kompressionsphase ( [image]) und die Restitutionsphase ( [image]).

Diese Dämpfungskraft  FD ist auch Null, wenn die Federkraft FF  Null ist (Freiflugphase). Die Verläufe der Stoßkraft-Komponenten sind in der folgenden Abbildung dargestellt:

Die Kontaktkraft F setzt sich dann aus den beiden Komponenten, Federkraft FF und Dämpfungskraft FD zusammen:

Dabei sind c die Federsteifigkeit, d die Dämpfungskonstante, Exp ein Exponentialparameter und Sn  die norminierte Eindringtiefe. Die norminierte Eindringtiefe Sn liegt bei Metall-Werkstoff in der Größenordnung von [image].

Mit Exp = 1/2 entspricht die Federkomponente FF  der Hertz´schen Stoßtheorie. Da jedoch ein Bruchzahl-Exponent auf die Wurzelberechnung zurückführt, erhöht sich damit der Rechenaufwand. Weiterhin ist die Eindringtiefe  [image] bei Metallwerkstoffen so klein, daß der Verlauf der Feder-Stoßkraft FF  in Abhängigkeit von der Wegdifferenz [image] kaum Einfluß auf den zeitlichen Verlauf Stoßkraft F hat. Aus diesen Gründen ist der Parameter Exp mit ganzen Zahlen (0,1,2) in Abstimmung mit den Parametern c und d so auszuwählen, daß die numerische Stabilität des Modells gewährleistet wird. Auf der anderen Seite soll die daraus entstandene maximale Eindringtiefe [image] möglichst klein sein, damit keine Laufbahn-Abweichung der bewegten Teile entsteht.

Grundlage für die Einstellung der Dämpfungskonstante d bildet das Lehrsche Dämpfungsmaß:

Bei der Masse m handelt es sich um die Gesamtmasse der am Stoß beteiligten Körper bzw. um die Masse des Körpers, welcher auf eine feste Oberfläche stößt.

Der Wert D=1 entspricht dem aperiodischem Grenzfall ohne Überschwingen. Werte von D>1 beschreiben ein stark gedämpftes Verhalten (Kriechfall). Im Sinne der numerischen Stabilität ist der aperiodische Grenzfall günstig. Infolge der nichtlinearen Kraftkennlinien sollte man in Abhängigkeit von sn und exp einen günstigen Wert von D mittels Einflußanalyse ermitteln.

Dieses Modell sollte nur für weiche Stoßvorgänge angewendet werden (kleine Aufprallgeschwindigkeiten). Andernfalls kommt es zu einer unzulässsig großen Eindringung.


Harter Anschlag

Werden von den realen Vorgängen nicht die Voraussetzungen des weichen Stoßes erfüllt, muß man einen speziellen Ansatz für einen Anschlag verwenden.

Um eine vorgegebene, maximale Eindringtiefe smax beim Aufprall nicht zu überschreiten, werden die elasto-plastischen Kontaktkraftgesetzen modifiziert:

Wenn man diesen Ansatz mit h = 1 verwendet, widerspiegelt es zwar ausreichend das Verhalten des Anschlags, aber die numerische Stabilität des Modells ist infolge des Geschwindigkeitssprungs beim Aufprallen ( [image]) nicht gewährleistet. In der Realität erfolgt bis zu einer bestimmten Eindringtiefe ein kontinuierlicher Übergang von Null bis zum vollen Umfang der geschwindigkeitsproportionalen Dämpfung.

Um diesen Sachverhalt nachzubilden und dadurch beim Eindringen des Anschlagbereiches einen Dämpfungskraftsprung zu vermeiden, wird die Dämpfungskraft-Komponente mit der folgenden Zusatzfunktion h beaufschlagt:

Den qualitativen Verlauf der Anschlagskraft-Komponenten sehen Sie im folgenden Bild. Numerische Probleme können durch die Polstelle der Kraftfunktionen bei dem Wert smax  entstehen:

Wenn sich die Eindringtiefe [image] gegen smax  bewegt, streben sowohl die Federkraft als auch die Dämpfungskraft gegen den Wert unendlich. In der Realität sorgen diese riesigen Kräfte dafür, daß ein weiteres Eindringen verhindert wird. Die experimentell ermittelte, maximal zulässige Eindringtiefe smax  liegt bei Metall-Werkstoffen in der Größenordnung von 0.1 mm. Wenn smax  zu klein gewählt wird, entsteht ein numerisches Stabilitätsproblem. Wenn sie umgekehrt zu groß ist, ergibt sich eine unzulässige Wegabweichung beim Anschlag. Bei Gummi-Anschlägen ist die maximale Eindringtiefe smax  gleich der Gummidicke, die normalerweise groß genug ausgelegt ist und damit die numerische Stabilität des Modells gewährleistet.


Spiel

Unter Spiel versteht man die freie Beweglichkeit zweier mittels eines Verbindungselements gekoppelter Körper zueinander. Typischer Weise tritt Spiel in Lagern auf. Dies soll am Beispiel eines Ellipsengelenkes demonstriert werden:

Es existieren hier die zwei Spielgrößen SpielX, SpielY, die im Sonderfall (Kreis-Gelenk) gleich sind. Um die Eindringtiefen in X- und Y-Richtung zwischen beiden Körpern zu berechnen, müssen zuerst ihre relative Lage und die vorhandenen Spiele in dieser relativen Lage ermittelt werden.

Die relative Lage zwischen Lager1 (X1,Y1) und Lager2 (X2,Y2) ist durch den gerichteten Winkel ß gekennzeichnet

Die vorhandenen Spielgrößen in X- und Y-Richtung sind dann aus dem Winkel ß gemäß der Ellipsenform ableitbar

Nun können die vorzeichenbehafteten Eindringtiefen zwischen beiden Körpern zusammen mit berechnet werden

Die Berührung beider Körper wird mittels des Kraftansatzes für den weichen Stoß behandelt. Es wird Exp=2 verwendet, um Dämpfungskraftsprünge im Augenblick der Körperberührung zu vermeiden und dadurch die numerische Stabilität zu erhöhen:

Die auf den Körper 1 wirkenden Gelenkkräfte sind in der Stoßphase (x >0, y>0) dann

In der Freiflugphase sind diese Kräfte Null. Die Normaleindringtiefe s ergibt sich aus


Reibpaarungen - Grundlagen

Reibungsvorgänge begleiten alle Bewegungsvorgänge in Maschinen und Geräten. Im Unterschied zum Maschinenbau sind die Reibkräfte in feinwerktechnischen Mechanismen meist nicht vernachlässigbar. Nach der Art der Relativbewegung der Mechanismenteile zueinander unterscheidet man die folgenden Reibpaarungen:

Grundlage für die Beschreibung aller Arten von Reibpaarungen ist das Verhalten der Gleitreibung. Werden zwei Körper mit einer bestimmten Normalkraft FN aneinandergepreßt, so kann in dieser Reibpaarung eine Reibkraft FR übertragen werden:

Diese Reibkraft FR ist außer von der Normalkraft FN von der Relativgeschwindigkeit [image] beider Körper abhängig. Sind beide Körper relativ zueinander in Ruhe [image], so spricht man von Ruhereibung, anderenfalls von Bewegungsreibung. Das Verhältnis von Reibkraft und Normalkraft wird Reibwert  [image] genannt.

Seine Definition lautet:

Für die Reibpaarung wird ein idealisiertes konzentriertes Element eingeführt - das Reibelement:

Bei der Ruhereibung haften die Festkörperoberflächen mit ihren Rauhigkeiten aneinander. Die reine Ruhereibung wird in Preßverbindungen, Verschraubungen usw. ausgenutzt. Interessant für die Dynamik der Bewegung ist vor allem der Übergang zwischen der Ruhereibung und der Bewegungsreibung.

Die durch die Reibpaarung miteinander wechselwirkenden Massen bleiben relativ zueinander in Ruhe, solange

.

Die Beschleunigungen a von m1 und m2 sind in diesem Fall gleich groß. Die dynamischen Kräfte infolge der Massenbeschleunigung beeinflussen die Größe der Reibkraft.

Ist die Beschleunigung beider Massen Null (z.B. Körper auf fester Unterlage), so ist die erzeugte Haftreibkraft als Reaktionskraft in Größe und Richtung nur durch die Summe der an den beiden Massen angreifenden äußeren Kräfte bestimmt (Actio = Reactio). Es gilt dann:

.

Auf den Körper, der sich auf der festen Unterlage befindet, wirkt also stets eine Reibkraft, welche im Betrag genauso groß ist wie die äußere Kraft, die auf diesen Körper einwirkt. Allerdings nur solange diese Reibkraft durch die Reibpaarung aufgebracht werden kann!

Der Wert von µHaft läßt sich über den Grenzreibwinkel [image] einer schiefen Ebene bestimmen:

Existiert eine Relativgeschwindigkeit der Körper zueinander, so spricht man von Bewegungsreibung. In diesem Falle werden Betrag und Richtung der Reibkraft durch die Differenzgeschwindigkeit der Körper beeinflußt.

Man kann drei Arten der Bewegungsreibung unterscheiden:

a) Festkörperreibung (Coulombsche Reibung):
Hier bleiben die Oberflächen beider Körper infolge hoher Flächenkräfte dicht aneinander, so daß praktisch der Haftreibwert konstant bleibt. Es entsteht dann folgende Reibwert-Funktion:

b) Flüssigkeitsreibung:
Sie tritt dann auf, wenn sich eine Gas- oder Flüssigkeitsschicht  zwischen beiden Körpern befindet, z.B. bei einem Luftlager. Das Reibverhalten gleicht einer gechwindigkeitsproportionalen Dämpfung:

c) Mischreibung:
Sie ist die am häufigsten auftretende Reibform. Den Verlauf des Reibwertes µReib für den Fall der Mischreibung zeigt das folgende Stribeck-Diagramm. Ausgehend von dem Betrag des Haftreibungskoeffizienten nimmt der Reibwert µReib mit zunehmendem Betrag der Geschwindigkeit ab und steigt anschließend wieder an:

Das Meßdiagramm zeigt dieses Verhalten der Mischreibung in Abhängigkeit von der Normalkraft bei einer bestimmten Reibfläche (Dynamik des Reibwertes nach Rauch/Bürger: Mechanische Schaltsysteme):

Im allgemeinen sind weitere Einflußgrößen von hohem Einfluß auf den Reibwert-Verlauf (z.B. Oberflächenbeschaffenheit, senkrechte oder längsgerichtete Schwingungen, Größe der Berührungsfläche, Schmierung). Die exakte Bestimmung der Reibwert-Funktion ist daher nur schwer möglich. Das betrifft sowohl die Haft- und Gleitreibungsparameter als auch die Charakteristik der Funktion. Für die Übergangsgeschwindigkeit von Haft- und Gleitreibung sind kaum Werte dokumentiert. Die im folgenden aufgeführten Reibwerte sind daher Durchschnittswerte:


Numerische Reibwert-Funktionen

Die erforderlichen Parameter für die Formulierung des Gesamtverlaufes der Reibwert-Funktion der Mischreibung zeigt das folgende Bild:

Es werden drei Bereiche der Reibwert-Funktion unterschieden:

1.) Haftreibung
Für den Haftreibungsfall ( [image]) wird der Absolutbetrag von my_Haft bereitgestellt, da das Vorzeichen nur von der Angriffskraft bestimmt wird.

2.) Übergang von der Haft- zur Gleitreibung
bis zur Grenzgeschwindigkeit  vGleitMin :

3.) Zunahme des Reibwertes bei größeren Geschwindigkeiten
Des Dämpfungsanteil µDämpf wird durch den Dämpfungsfaktor k_Daempf nachgebildet. Im allgemeinen ist die Zunahme des Reibwertes bei hohen Geschwindigkeiten begrenzt. Mit dem Parameter vGleitMax kann die Geschwindigkeit angegeben werden, ab welcher eine solche Begrenzung wirksam wird.

Die vollständige Reibwert-Funktion für die Mischreibung lautet damit:

Auf Grund der unterschiedlichsten Abhängigkeiten des konkreten Reibwert-Verlaufes ist eine genauere Approximation nicht sinnvoll. Die durch USAN bereitgestellte Funktion _myReibAbs kann entsprechend der Reibungsart wie folgt genutzt werden:

Trockene Coulombsche Reibung:            	µHaft       = µGleit

Haft-Gleitreibung ohne Wiederanstieg:    	kDaempf = 0

Falls der Aufruf von _myReibAbs mit einzelnen Parameterwerten=0 erfolgt, werden Standardwerte angenommen:

vGleitMax	=	(ohne Begrenzung der Dämpfung)

my_Haft   	=	my_Gleit

vGleitMin 	=	0.2 m/s

Die im USAN bereitgestellte dynamische Reibwertfunktion _myReibDyn unterscheidet sich von der Funktion _myReibAbs nur geringfügig. Es wird innerhalb einer geringen Geschwindigkeitsdifferenz vHaftMax, die im Vergleich zu den interessierenden Geschwindigkeiten des zu behandelnden Systems vernachlässigbar ist (etwa vHaftMax= 0.0001 m/s) ein kontinuierlicher Übergang von -µ_Haft bis +µ_Haft gesetzt. Damit lassen sich ohne Stabilitätsprobleme realitätsnahe Verhaltensweisen von Reibpaarungen erzielen.

Da für konkrete Reibpaarungen oft nur die Parameterwerte für µ_Haft und µ_Gleit  verfügbar sind, wird im USAN desweiteren die Funktion _myHaftGleit bereitgestellt Der Dämpfungsanteil der Reibkraft bei höheren Geschwindigkeiten wird hierbei vernachlässigt. Die Übergangsgeschwindigkeiten für Haft- und Gleitreibung erhalten innerhalb der Funktion _myHaftGleit typische Werte.

Im folgenden sind die Definitionen der im USAN implementierten Reibwert-Funktionen abgebildet:

FUNCTION _MyReibAbs( {  -----> Absolutwert der Reibwertfunktion     <------ }

                     {------------------------------------------------------}

    dv,              {  Differenzgeschwindigkeit                    / m/s   }

    my_Haft,         {  Haftreibungsfaktor                          /       }

    my_Gleit,        {  Gleitreibungsfaktor                         /       }

    k_daempf,        {  Daempfungsbeiwert des Reibfaktors           / 1/m/s }

    vGleitMin,       {  Ende des Überganges Haft-Gleitreibung       / m/s   }

    vGleitMax : REAL){  Ende des Bereiches der Reibwertzunahme      / m/s   }

              : REAL;{  aktueller Wert der Reibwert-Funktion        /       }

FUNCTION _MyReibDyn( {  -----> Dynamische Reibwert-Funktion my(dv)  <------ }

                     {------------------------------------------------------}

    dv,              {  Differenzgeschwindigkeit                    / m/s   }

    my_Haft,         {  Haftreibungsfaktor                          /       }

    my_Gleit,        {  Gleitreibungsfaktor                         /       }

    k_daempf,        {  Daempfungsbeiwert des Reibfaktors           / 1/m/s }

    vGleitMin,       {  Ende des Überganges Haft-Gleitreibung       / m/s   }

    vGleitMax,       {  Ende des Bereiches der Reibwertzunahme      / m/s   }

    vHaftMax  : REAL){  Geschwindigkeitsbereich d. Haftreibung      / m/s   }

              : REAL;{  aktueller Wert der Reibwert-Funktion        /       }

FUNCTION _MyHaftGleit{ ------> Dynamische Reibwert-Funktion my(dv)  <------ }

                     {       mit vGleitMin=0.2 m/s, vHaftMax=1e-4 m/s       }

                     {       und k_daempf=0                                 }

                     {------------------------------------------------------}

   (dv,              {  Differenzgeschwindigkeit                    / m/s   }

    my_Haft,         {  Haftreibungsfaktor                          /       }

    my_Gleit : REAL) {  Gleitreibungsfaktor                         /       }

             : REAL; { aktueller Wert der Reibwert-Funktion         /       }


Haftreib-Übergänge als numerische Ereignisse

Die Aufgabe besteht darin, eine solche Reibkraft zu ermitteln, daß zwei Massen im Zustand der Haftreibung numerisch weiterhin getrennt, aber mit gleicher Beschleunigung nebenherlaufen. Dazu muß das Reibelement die Funktion eines Beobachters der angrenzenden Massen übernehmen.

Aus der Gleichsetzung der Beschleunigung beider Massen ergibt sich die erforderliche Reibkraft:

Für die Ermittlung des Haftreibungsfalles muß eine Ereignis-Behandlung genutzt werden. Durch Ereignis-Behandlung kann der Stillstand ( [image]) der Massen relativ zueinander erkannt werden. Die Haftreibungskraft F_reib wird dann entsprechend obiger Gleichung berechnet und auf die maximal mögliche Haftreibungskraft begrenzt.

Die obige Berechnungsvorschrift für die Reibkraft gilt nur, solange die maximal mögliche Haftreibkraft nicht überschritten wird. Ist dies der Fall, so ist der Haftreibungszustand beendet und es erfolgt wieder eine unterschiedlich starke Beschleunigung der einzelnen Massen. Dieses Verfahren ist nur für zwei reibgekoppelte, selbst reibungsfrei bewegliche Massen gültig. Die Schnittstelle zum Reibelement muß neben den Bewegungs- und Kraftsignalen auch die effektiven Massen an die Reibkraft-Ermittlung übergeben. Außerdem benötigt das Reibelement die Voraussetzungen für die Berechnung der Normalkraft (z.B. Lage im Schwerefeld).

Dieses Verfahren entspricht am ehesten der Nutzung einer geschlossenen DGL für zwei reibgekoppelte Massen.

Nachteilig wirkt sich die Ereignis-Behandlung auf das numerische Verhalten aus, wenn mehrere Reibvorgänge miteinander in Wechselwirkung stehen.

Sind mehrere Massen z.B. in einem Gelenkgetriebe über Reibpaarungen gekoppelt, so wäre man im Falle der Haftreibung bei Nutzung der Ereignis-Behandlung gezwungen, die Bewegungszustände und Reaktionskräfte aller über Reibpaarungen gekoppelter Massen zu ermitteln und eine gemeinsame Beschleunigung für die jeweils in Haftreibung zueinander befindlichen Massen zu bestimmen. Bei mehr als zwei Elementen ergäben sich dabei sehr komplizierte Strukturänderungen in den Teilmodellen.

Der Teilmodelltext zeigt die Nachbildung der Reibpaarung mittels Ereignisbehandlung und der numerischen Reibwertfunktion _MyReibAbs. Dazu wurde folgende Ersatzstruktur zu Grunde gelegt:

:

PARAMETER

       m1      : Masse reibungsfrei auf Ebene        / kg    ;

       m2      : Masse mit Reibpaarung auf m1        / kg    ;

       my_Haft : Haftreibwert  zwischen m1+m2        /       ;

       my_Gleit: Gleitreibwert zwischen m1+m2        /       ;

       k_Daempf: Daempfungsbeiwert zw.  m1+m2        / 1/m/s ;

       vGleiMin: Ende Uebergang Haft-Gleit           / m/s   ;

       vGleiMax: Ende Reibwertzunahme                / m/s   ;

SIGNALE

       a1      : Beschleunigung  untere  Masse       / m/s^2 ;

 unten.F1      : äußere Kraft auf untere Masse       / N     ;

 unten.v1      : Geschwindigkeit untere  Masse       / m/s   ;

 unten.s1      : Position  der   unteren Masse       / m     ;

       a2      : Beschleunigung  obere   Masse       / m/s^2 ;

  oben.F2      : äußere Kraft auf obere  Masse       / N     ;

  oben.v2      : Geschwindigkeit obere   Masse       / m/s   ;

  oben.s2      : Position  der   oberen  Masse       / m     ;

       FGes1   : auf m1 einwirkende Kräfte           / N     ;

       FGes2   : auf m2 einwirkende Kräfte           / N     ;

       F_reib  : abs(Reibkraft) zwischen m1+m2       / N     ;

       F_reibMy: aus my_Reib-Funktion ermittelt      / N     ;

       dv      : Relativgeschwindigkeit zw. m1+m2    / m/s   ;

VAR

 F_normal  :REAL;

 Stillstand:CHAR;

 Haften    :BOOLEAN;

INIT

 F_normal  := m2*g;

 Stillstand:= EreignisName;

{ Ermittlung des Anfangszustandes in Hinblick auf das Haften            }

 dv        := v2 - v1;

 Haften    := (dv=0);

 IF Haften THEN BEGIN

  F_reib   := (m2*F1 - m1*F2) / (m1+m2);

  F_reibMy := F_normal*_myReibAbs(dv,my_Haft,my_Gleit,k_Daempf,vGleiMin,vGleiMax);

  IF abs(F_reib) > F_reibMy THEN BEGIN

   F_reib  := sign(F_Reib)*F_reibMy;                       Haften:=FALSE;

  END;                                                    {-------------}

 END

DYNAMIC

 dv        := v2 - v1;

 IF Ereignis (dv,0,Stillstand) THEN IF t>t0 THEN BEGIN

   Haften:=TRUE; v2:=v1;

 END;

 F_reibMy  := F_normal*_myReibAbs(dv,my_Haft,my_Gleit,k_Daempf,vGleiMin,vGleiMax);

{ Behandlung der Haftreibung u. Übergang zum Gleiten:                   }

 IF Haften THEN BEGIN

  F_reib   := (m2*F1 - m1*F2) / (m1+m2);

  IF abs(F_reib) > F_reibMy THEN BEGIN

   F_reib  := sign(F_Reib)*F_reibMy;     IF IntAnfang THEN Haften:=FALSE;

  END;                                                    {-------------}

 END

{ Behandlung der Gleitreibung: }

 ELSE BEGIN

  IF t>t0 { Vermeidung Instabilitäten der ROSENBROCK-WANNER-Integration }

   THEN F_reib  :=-F_reibMy * sign(dv)

 END;

 FGes1 := F1 - F_reib;

 FGes2 := F2 + F_reib;

 IF Haften THEN BEGIN { Haften  -> Zwangskopplung der Massenbewegungen  }

  a1   := (F1+F2)/(m1+m2);

  a2   := a1;

 END

 ELSE BEGIN           { Gleiten -> unabhängige Bewegung beider Massen   }

  a1    := FGes1/m1;

  a2    := FGes2/m2;

 END;

 v1    := Integral (a1);

 s1    := Integral (v1);

 v2    := Integral (a2);

 s2    := Integral (v2);


Haftreibung als stark gedämpfte Bewegung

Die Aufgabe besteht darin, eine solche Reibkraft zu ermitteln, daß zwei Massen im Zustand der Haftreibung numerisch weiterhin getrennt, aber hinreichend genau mit gleicher Beschleunigung nebenherlaufen. Dazu muß das Reibelement die Funktion eines Beobachters der angrenzenden Massen übernehmen.

Dabei kann jede Reibpaarung eigenständig als Reibleitwert wirken, der bei Relativgeschwindigkeit  [image] die reibgekoppelten Massen bis zur Überwindung der Haftreibung zusammenhält. Es wird nur so viel Kraft erzeugt, wie es zum Übertragen der äußeren Reaktionskräfte erforderlich ist. Physikalisch gesehen ist dieser Reibleitwert eine stark gedämpfte Federsteife.

Die Steuerung der Reibkraft über die Geschwindigkeitsdifferenz entspricht für den Haftreibungsfall einer zähen Dämpfungsschicht. Der Vorteil ist, daß damit für den Kraftausgleich praktisch ein Regler mit Integralverhalten [image] eingesetzt ist. Es ist keine Ereignisbehandlung erforderlich.

Dieses Prinzip besitzt prinzipiell keine Einschränkungen bezüglich der Art der Kopplung und der Anzahl der Massen.

Das Lösungsprinzip besteht darin, den Haftreibungssprung im Nullpunkt der Geschwindigkeit durch eine steile Gerade zu ersetzen, die beim Erreichen der Grenzgeschwindigkeit vHaftMax kontinuierlich in den Wert my_Haft übergeht. Dazu kann man die im USAN bereitgestellte Reibwertfunktion _myReibDyn nutzen:

In dieser wird anstelle der normalen Sprungfunktion SIGN (x) die kontinuierliche Funktion SIGNUM (x) genutzt, mit welcher der Betrag des Reibwertes multipliziert wird:

Für vHaftMax<=0.01 entspricht die kontinuierliche SIGNUM-Funktion hinreichend genau der SIGN-Sprungfunktion. Bei den großen Unsicherheiten der Reibwertemessung reicht für vHaftMax ein Zehntel des Betrages von vGleitMin.

Die am Reibelement auftretende Reibkraft berechnet sich dann im Teilmodell mit:

DYNAMIC

 :

 dv    :=  v2 - v1;

 F_reib:= -F_normal*_myReibDyn(dv,my_Haft,my_Gleit,k_Daempf,

                               vGleiMin,vGleiMax,vHaftMax);

 :


Grundlagen (Wellenvorgänge)

Nutzt man bei der Modellierung dynamischer Systeme die Methode der konzentrierten idealisierten Elemente, so steht man bei der Modellbildung vor der Aufgabe, räumliche Gebilde zu geeigneten konzentrierten Elementen zusammenzufassen:

Spule	-	Induktivität + ohmscher Widerstand

Hebel	-	idelaer Übertrager

Greifer	-	Punktmasse oder starrer Körper

Blattfeder	-	Elastizität

Diese idealisierten Elemente müssen im Modell das (Energie)-Übertragungsverhalten- und das (Energie)-Speicherverhalten der abgebildeten Gebilde für den gewünschten Zweck hinreichend genau widerspiegeln.

Die Reduktion auf konzentrierte Elemente ist unproblematisch, solange sowohl Speicherung als auch Übertragung für den Anwendungszweck praktisch verzögerungsfrei stattfinden. Das Übertragungsverhalten passiver Elemente kann dann durch Kennlinien nachgebildet werden (Widerstände, Kraftelemente). Das Energiespeichervermögen kann zu einem einzigen idealisierten Speicher zusammengefaßt werden.

Die räumliche Übertragung von Energie kann prinzipiell über zwei Übertragungsmechanismen erfolgen:

#	durch Transport von Teilchen, an welche Energie gebunden ist (kinetische, chemische, elektrische o.ä.) im Sinne von Teichlenstrahlungen;

#	durch energetische Wechselwirkung zwischen ortsgebundenen Speicherlementen im Sinne einer Wellenausbreitung;

Der Energietransport mittels bewegter Teilchen wird im Modell entweder als Strahlungswiderstand behandelt (z.B. bei Wärmestrahlung) oder man behandelt die Dynamik der bwegten Massen selbst (bei relativ langsamen Bewegungen). Auf diese Form der Energieübertragung wird in diesem Abschnitt nicht weiter eingegangen.

Kommt es zu merklichen Laufzeiten bei der Übertragung von Energie zwischen energetischen Schnittstellen eines homogenen Teilsystems, so handelt es sich um Wellenvorgänge, wenn dabei kein Stofftransport stattfindet.

Die als Signale meßbaren physikalischen Größen (z.B. Verschiebung, Geschwindigkeit, Kraft) bewegen sich in Form einer Welle durch das Medium. Die Welle resultiert aus der energetischen Wechselwirkung zwischen den im Medium verteilten Energiespeichern. Dabei oszillieren die Signalgrößen an den einzelnen Speicher-Orten, wenn eine Umwandlung zwischen potentieller und kinetischer Energie erfolgen kann. Die gerichtete Bewegung der Wellen entsteht durch Überlagerung der örtlichen Einzelschwingungen. Bei stoßförmiger Anregung entsteht eine einzige Wellenfront, welche die eingespeiste Energie z.B. zur gegenüberliegenden Schnittstelle transportiert.

Trifft Welle auf eine Inhomogenität (z.B. die Grenze des Ausbreitungsmediums), so kommt es zu Reflexionen. Reflexionsfreie Energieübertragung über Wellenleiter setzt eine Anpassung der Schnittstellen-Impedanzen vorraus!

In schnellen und präzisien Antrieben spielen vor allem die Welleneffekte in Feder-/Dämpferelementen, Hebeln, Wellen, Kupplungen und fluidischen Leitern eine Rolle. Laufzeiten in der Signalverarbeitung resultieren meist aus zu geringen Taktzeiten des Mikrorechnersystems und müssen anders behandelt werden als die hier betrachteten Leitungsvorgänge.

Das folgende Bild zeigt die Simulation einer mittels R, L und C nachgebildeten elektrischen Leitung. Die linke Hälfte der Darstellung enthält die Signalverläufe von Strom und Spannung an den beiden Seiten der Leitung. Die rechte Hälfte des Bildes zeigt die grafische Animation der Spannungsverteilung über den 30 Elementen der Leitung ungefähr nach der Hälfte der Simulationszeit:

Bei der Nachbildung solcher Wellenleiter mit konzentrierten Elementen stößt man schnell an die Grenzen von Simulationssystemen und Rechnerleistung. Die Zielstellung der Modellbildung ist deshalb immer ein Minimalmodell, d.h. Erzielung einer für den Zweck hinreichenden Genauigkeit mit möglichst geringem numerischem Aufwand.


Leitungselemente
Leitungselemente (Wellenvorgänge)

Erweist es sich infolge von nicht zu vernachlässigenden Signallaufzeiten als notwendig, die inneren Wechselwirkungen einer geometrischen Struktur im Modell nachzubilden, steht man vor dem Problem, wie man dies effizient realisieren kann.

Hier soll nur gezeigt werden, wie anhand der Idealisierungen der Leitungstheorie mittels einfacher Grundbausteine aus Kapazitäten, Induktivitäten und Widerständen eine elektrische Leitung nachgebildet werden kann. Für die nichtelektrischen physikalischen Partialsysteme werden die Gesetze elektrischer Netzwerke in Analogie angewendet.

Die mittels der Leitungstheorie beschreibbaren Zusammenhänge zwischen der Geometrie eines Leiters und seines Verhaltens basieren auf der Zerlegung des Leiters in unendlich viele Teilstücke. Für unsere Herangehensweise der Simulation des Leitungsverhaltens genügt bereits eine Zerlegung des Leiters in eine größere Anzahl kleiner Abschnitte. Solch ein kurzes Stück einer elektrischen Leitung kann nachgebildet werden durch eine Vierpol-Ersatzschaltung mit symetrischem Übertragungsverhalten.

Der Draht des betrachteten Leitungsabschnitts hat je nach Länge und Leiterquerschnitt eine bestimmte Induktivität. Zwischen den zwei Drähten der Leitung existiert eine elektrische Kapazität, die ebenfalls bestimmt wird durch den Leiterquerschnitt und das als Isolator verwendete Dielektrikum. Der Draht hat des weiteren einen ohmschen Widerstand. Der ohmsche Widerstand des Isolators zwischen den Drähten wird in obigem Ersatzschaltbild für das Leiterstück vernachlässigt.

Für das T-Glied als eine mögliche Ersatzschaltung werden R1=R2 und L1=L2 setzt, der Drahtwiederstand und die Induktivität werden also zu gleichen Teilen auf die entsprechenden konzentrierten Elemente aufgeteilt.

Eine andere mögliche Ersatzschaltung für ein Leiterstück mit symetrischen Übertragungseigenschaften ist das PI-Glied:

Hier wird die Kapazität zwischen den zwei Leitungsdrähten auf die beiden Ersatzelemente C1 und C2 aufgeteilt.

Leider ist es nicht möglich, durch Aneinanderreihen gleicher symetrischer 4-Pol-Elemente direkt ein Leitungsmodell zusammenzusetzen, denn die energetischen Schnittstellen sind nicht paßfähig. Deshalb wird ein etwas modifiziertes Grundelement definiert, welches mit seinesgleichen verkoppelbar ist:

Soll aus diesem Grundelement die Leitung mittels T-Gliedern nachgebildet werden, so enthält C die gesamte Kapazität des jeweiligen Leitungsstücks. L und R setzen sich aus den halben Werten des eigenen Leitungselements und den halben Werten des linken Nachbarelements zusammen. Dies soll am Beispiel einer in 3 Leitungsstücke zerteilten Leitung demonstriert werden:

Um das gesamte Modell der Leitung richtungsunabhängig zu gestalten, müssen die Ersatzelemente an den Enden der Leitung anders behandelt werden als die Elemente im Innern der Leitung.

Für das Abschlußelement der linken Seite kann man das selbe Element benutzen, muß jedoch R und L mit dem halben Wert des ersten Leiterstücks belegen.

Für das Abschlußelement der rechten Seite muß ein spezielles Element verwendet werden, welches nur aus R und L besteht, die jeweils wieder mit den halben Werten des letzten Leitungsstücks zu versehen sind.

So wie die Leitung in diesem Beispiel modelliert wurde, befinden sich an den energetischen Schnittstellen der Leitung Seite1 und Seite2 Induktivitäten. Der Strom tritt als Zustandsgröße auf. Damit gibt es Probleme z.B. einen induktiven Abschlußwiderstand anzukoppeln. Eine einfache Lösung besteht darin, für die Abschlußelemente der Leitung die Möglichkeit vorzusehen, eine Zusatzinduktivität zum L des Elements dazu zu addieren:

Die gesamte Leitungslänge wird in soviele Leitungsstücke geteilt, daß sich durch eine Vergrößerung der Elementanzahl kein anderes dynamisches Verhalten der Leitung ergibt.

Natürlich kann man eine elektrische Leitung auch auf der Basis von Pi-Gliedern nachbilden, wenn dies aus der gewünschten äußeren Beschaltung der Leitung als günstiger erscheint.

In Analogie zur elektrischen Leitung kann ein nichtstarrer Körper mittels eine Folge von Feder-Dämpfer-Masse-Elementen nachgebildet werden. Ausgangspunkt ist auch hier wieder die Isotrophie des langen, schlanken Körpers in Ausbreitungsrichtung (Verhaltenssymmetrie). Die Schaltung des PI-Gliedes zeigt das folgende Bild:

Auch hier trifft wieder zu, daß diese Pi-Glieder nicht direkt miteinander koppelbar sind. Deshalb wird ein modifiziertes Grundelement definiert:

Die Gestaltung der Randelemente erfolgt analog wie bei der elektrischen Leitung. Für die inneren Elemente wird jeweils die halbe Masse des eigenen Leitungsstücks und die halbe Masse des linken Nachbarelements genutzt:


Numerisches Modell (Wellenvorgänge)

Das für eine zu modellierende Leitung gewählte Leitungselement sollte im USAN in Form einer PASCAL-Routine realisiert werden. Wenn man darauf achtet, daß sie mehrfach verwendbar ist (d.h. keine festen internen Speicher benötigt), kann man solch eine Routine in einer Zyklusanweisung soviele Male aufrufen, wie man die Leitung in Leitungselemente unterteilt hat.

Da MOSYS für Routinen vom Typ PROCEDURE nur reine Eingänge oder reine Ausgänge zuläßt, können Zustandsgrößen nur an an eine PROCEDURE übergeben werden, wenn sie im Teilmodell als interne Variable deklariert sind. Die PROCEDURE kann nur solche übergebenen Parameter mit einem neuen Wert überschreiben, wenn sie in der Liste der formalen Parameter mit dem Schlüselwort VAR vereinbart wurden:

PROCEDURE

 LRCglied { Stück einer elektrischen Leistung }

{

}

{PARAMETER}

(VAR L,       { Wert der Induktivität             / H   }

     R,       { Wert des Vorwiderstands           / Ohm }

     C,       { Wert der Kapazität                / F   }

{SIGNALE}

{Seite1.}u1,  { Spannung an der Seite 1           / V   }

{Seite1.}iL,  { Strom durch die Induktivität      / A   }

{Seite2.}uc,  { Spannung am Kondensator           / V   }

{Seite2.}i2   { Strom an der Seite 2              / A   }

              :REAL);

 VAR

         uL,  { Spannung über der Induktivität    / V   }

         uR,  { Spannung über den Widerstand      / V   }

         ic   { Strom  durch  den Kondensator     / A   }

              :REAL;

BEGIN CASE KOMPONENTE OF

 DYNAMIC: BEGIN

  uR      := iL*R;

  uL      := uc-uR-u1;

  ic      := i2-iL;

  iL      := Integral (uL/L);

  uc      := Integral (iC/C);

          END;

END;END;

Bei der Entwicklung des Modellansatzes innerhalb der PASCAL-Routine geht man analog zur Teilmodell-Entwicklung vor. Man muß nur einige zusätzliche Syntax-Konventionen beachten. So ist z.B. zu den einzelnen Berechnungsabschnitte INIT bis FINISH bzw. GRAFIC über eine CASE-Anweisung zu verzweigen.

Für alle im Leitungsteilmodell verwendeten internen Größen (PARAMETER und SIGNALE der Leitungselemente) sollte man einen gemeinsamen Feldtyp vereinbaren:

 TYPE

  MaxElemente= 0..81; {z.B. ´81´=MaxTeilung+1}

  Groeszen = ARRAY [MaxElemente];

  Groesze  =^Groeszen;

Die Speicherbereiche für diese Felder sollten, da sie relativ Platz beanspruchen, dynamisch mittels NEW angefordert werden. Deshalb wird ein POINTER-Typ für den Feldtyp vereinbart. Um eine definierte Speicheranforderung und Freigabe zu gewährleisten, muß die Pointer-Variable für jedes Feld als typisierte Konstante vom Typ der Pointer-Variablen auf den Feldtyp definiert werden:

 CONST

   L   :Groesze = (NIL);

   R   :Groesze = (NIL);

   :

Das Anfordern der Speicherbereiche für die Felder muß im INIT-Abschnitt des Teilmodells erfolgen. Man kann nicht davon ausgehen, daß der INIT-Abschnitt während eines Modell-Laufes nur einmal abgearbeitet wird. Deshalb ist es notwendig, ein definiertes Testkriterium zu besitzen, ob der Speicherbereich für eine dynamische Feldvariable bereits zur Verfügung steht. Dieses Kriterium ist die Belegung der typisierten Pointer-Konstante mit dem Wert NIL:

 INIT

   IF L=NIL THEN New (L);

   IF R=NIL THEN New (R);;

   :

Nach dem Anfordern des Speicherplatzes mit NEW steht die Anfangsadresse dieses Feldes in der typisierten Konstante.

Die Freigabe des angeforderten Speicherplatzes kann prinzipiell im FINISH-Abschnitt erfolgen. Auch hier muß man das Testkriterium nutzen:

 FINISH

   IF L<>NIL THEN BEGIN Dispose(L); L:=NIL; END;

   IF R<>NIL THEN BEGIN Dispose(R); R:=NIL; END;

   :

ACHTUNG:

Falls Werte aus einem dynamisch angeforderten Speicherbereich mittels des GRAFIC-Abschnitts zur grafischen Animation genutzt werden, so dürfen diese Speicherbereiche nicht wieder freigegeben werden!

Die einmal geknüpften Adressverweise von der GRAFIC-Animation zu den Werten muß erhalten bleiben. Die Speicherbereiche können jedoch zu Beginn jedes Modell-Laufes mit neuen Werten versehen werden.

Ein komplettes Beispiel-Teilmodell für eine elektrische Verzögerungsleitung mit grafischer Animation finden Sie im Thema Animation von USAN-Modellen der USAN-Hilfe.


Idealisierung von 2D-Mechanismen

Mechanismen erfüllen ihre Funktion durch Wechselwirkungen von gekoppelten Festkörpern. Sie dienen dazu, eingespeiste (meist einfache) Bewegungsverläufe im Sinne nichtlinearer Übertrager so zu verformen, daß gewünschte Funktionen an einer Wirkstelle ausgeführt werden können. Typische Beispiele finden Sie in alten mechanischen Schreibmaschinen und Textilmaschinen, in Maschinen der Verpackungstechnik und auch in Schutzeinrichtungen für elektrische Anlagen.

In modernen feinwerktechnischen Antrieben werden Mechnismen meist als Komponenten eines komplexen Regelkreises zur Realisierung vorgegebener Bewegungsabläufe eingesetzt. Dabei spielen oft die Reibung, das Lagerspiel und Prellvorgänge eine große Rolle.

Ein Beispiel für einen komplexeren Mechanismus ist der dargestellte Verkorkungsautomat für Flaschen:

Für die Modellierung der Dynamik von Mechanismen haben sich verschiedene mathematische Herangehensweisen etabliert. Im weiteren soll gezeigt werden, daß die Modellierung auf der Basis idealisierter konzentrierter Elemente eine geeignete Methode ist, um die vielfältigen Nichtlinearitäten und Wechselwirkungen in gesteuerten und geregelten Mechanismen-Antrieben zu beherrschen.

In der Mechanik benötigt man für diese Form der Modellierung zwei Typen idealisierter Elemente, die Masseträgheit und masselose Kraftelemente. Mechanismen werden deshalb in zwei Typen von Teilsystemen zergliedert:

1.	Starrkörper

Komponenten eines Mechanismus, welche in sich als starr betrachtet werden können, werden jeweils auf eine Masseträgheit in ihrem Schwerpunkt reduziert (z.B. Kurbel, Koppel, Motorwelle mit Kupplung).
Sämtliche Ankoppelstellen an diesem starren Körper (z.B. Räder, Gleitbahnen, Kurvenoberflächen, Hebelarm-Endpunkte) sind relativ zum Schwerpunkt des starren Körpers in Ruhe.
Da im folgenden nur 2D-Mechanismen betrachtet werden, kann der starre Körper eine Dreh- und eine Schubbewegung in der xy-Ebene ausführen.

2.	Kopplungen

Hierbei handelt es sich um die Nachbildung der unterschiedlichen Gelenkpaarungen zwischen den Starrkörpern. Die Kopplungen verhalten sich wie Kraftelemente, können jedoch eine eigene Masseträgheit besitzen. Die entstehenden Kräfte vermitteln die Wechselwirkung zwischen den Festkörpern.
Diese Reaktionskräfte in den Gelenkpaarungen haben elastische und dämpfende Kraftkomponenten. Spiel und Anschläge zwischen den Starrkörpern werden durch entsprechende bewegungsabhängige Kraftverläufe nachgebildet.


Modellierprinzip für 2D-Starrkörper-Mechanismen

In Abgrenzung zu den Verfahren der Finiten Elemente werden die Mechanismen im USAN-Modellbaukasten behandelt als ein System:

#	massebehafteter starrer Körper und

#	gedämpft-elastische und prellende Kopplungen zur Nachbildung von nichtstarren Verbindungselementen zwischen starren Körpern (Kontaktstellen, Gelenke, Federelemente, Übertrager).

Die Körper mit ihren Hebelarmen und Gelenkpunkten werden dabei als dehnstarr betrachtet, Verformung wird allein den Kopplungen zwischen den Körpern zugeordnet. Die Masseträgheit der Koppelelemente ist in die Modellbildung einzubeziehen.

Es erfolgt eine Beschränkung auf die 2-dimensionale Bewegung in der x-y-Ebene. Verallgemeinernd wird dabei in jedem sich bewegenden Punkt eine Bewegungsachse in zRichtung mit den drei Koordinaten x, y und ph und deren Ableitungen installiert:

Die Körper bewegen sich also je nach Einschränkung ihrer Bewegungsfreiheit drehend und/oder schiebend mit maximal drei Freiheitsgraden wie in obiger Abbildung beispielhaft dargestellt.

Der Bewegungszustand eines Körpers wird durch die Bewegungsgrößen der Bezugsachse dieses Körpers eindeutig abgebildet. Die außerhalb der Bezugsachse liegenden Gelenkpunkte werden als sogenannte sekundäre Achsen behandelt, welche über (abstrakte) Hebelarme mit der Bezugsachse starr verbunden sind. Ihre Bewegungsgrößen sind aus denen der Hauptachse durch Koordinatentransformation eindeutig ableitbar:

Umgekehrt lassen sich die Belastungsgrößen der Bezugsachsen aus der Belastung der sekundären Achsen eindeutig mittels Bewegungstransformation über diese abstrakten Hebel ermitteln.

Die Modellierung umfaßt sowohl dynamische als auch kinematische Aspekte, die beim Entwurf oder der Analyse von Mechanismen in gleicher Weise von Bedeutung sind. Die im USAN bereitgestellten Mechanismen-Elemente des Modellbaukastens enthalten unterschiedliche Grundfunktionen für die Abbildung dieser recht unterschiedlichen Modellierungsaspekte.

Mechanismen-Dynamik

Unter dynamischen Aspekten basiert das Prinzip der Modellierung auf folgenden Grundfunktionen:

#	Die Bewegungsänderung eines Starrkörpers resultiert aus der Beschleunigung seiner trägen Masse. Entscheidend dafür sind die im Schwerpunkt S zusammengefaßten Translationskräfte und die Summe der Momente um den Bezugspunkt Po. Durch numerische Integration ergeben sich die Bewegungsgrößen in den drei (globalen) Koordinatenrichtungen x, y und ph. Dabei beschreiben x und y die Position von Po in einem globalen Koordinatensystem. Der Winkel ph beschreibt die aktuelle Verdrehung des Körpers um die globale z-Achse.

#	Die Transformation dieses Bewegungszustandes auf die Achsen der Koppelpunkte erfolgt durch die zum Starrkörper gehörenden transformierenden Elemente, kurz TRAFO-Elemente (Hebelarme, Räder u.a.).

#	Die Kopplungen erzeugen aus den Bewegungsdifferenzen ihrer Koppelpunkte die Koppelkräfte, die als äußere Belastungen auf die Gelenkpunkte zurückwirken.

#	Die Transformation dieser äußeren Belastungen auf den Körperschwerpunkt bzw. die Körperbezugsachse in Po erfolgt durch die gleichen TRAFO-Elemente.

#	Die Summation aller Gelenkkräfte und Momente sowie der Teilträgheiten im Starrkörper führt zur Beschleunigung des jeweiligen Starrkörpers.

Bei dieser Wechselwirkung zwischen den beiden Komponenten Starrkörper und Kopplung ergibt sich folgender Widerspruch:

#	Die Starrkörper benötigen für ihre Bewegung die auf den Körperschwerpunkt transformierten äußeren Belastungen, Trägheiten und Gravitationswirkungen.

#	die Kopplungen ihrerseits benötigen dazu die aus der Körperbezugsachse abzuleitenden Gelenkpositionen.

Die dafür erforderlichen Transformationselemente (z.B. Räder oder Hebelarme) sind an beiden Funktionen gleich stark beteiligt. Dadurch ergibt sich in mathematischer Hinsicht eine implizite Situation (=algebraische Schleife). Sie wird dadurch beseitigt, daß sich die Kopplungen die zum Zeitpunkt der Kraftermittlung benötigten Bewegungsgrößen selbst von den Körperbezugsachsen der gekoppelten Starrkörper ´abholen´.

Da die Bewegung durch die Gravitationsbeschleunigung g beeinflußt wird, kann diese in ihrer Richtung und Größe verändert werden, um das Verhalten von Mechanismen in unterschiedlichen Lagen und unter unterschiedlichen äußeren Beschleunigungen untersuchen zu können.

Mechanismen-Kinematik

Unter kinematischen Aspekten werden die Mechanismen in zwangsläufige Teilsysteme (Dyaden) aufgegliedert, deren Positionen eindeutig bestimmbar sind:

Der kinematische Aspekt der Mechanismenmodelle kann genutzt werden, um Anfangswerte für Bewegungszustände vor Beginn der Dynamiksimulation zu berechnen.

Es ist prinzipiell möglich, für die Simulation der Bewegungsabläufe eine Umschaltung zwischen Kinematik- und Dynamiksimulation vorzunehmen. Die Kinematik-Simulation besitzt dabei den Vorteil der kurzen Berechnungszeit, so daß ohne Probleme der Optimierungsoperator für die kinematische Dimensionierung von Mechanismen genutzt werden kann.


Der Starrkörper und seine Elemente

Zu einem Starrkörper können jeweils die Teile eines Mechanismus zusammengefaßt werden, welche sich relativ zueinander nicht bewegen. Es handelt sich um ein idealisiertes starres Gebilde. Die konkrete Geometrie eines solchen starren Teils wird stark abstrahiert. Der idealisierte Starrkörper enthält davon nur noch die interessierenden Punkte (Schwerpunkt, Gelenkpunkt Po um die Bezugsachse, weitere Gelenkpunkte und Meßpunkte). Die Verbindung zwischen dem Drehpunkt Po und den anderen Punkten wird über idealisierte Hebelarme hergestellt:

Der Starrkörper mit seinen am Körperschaft starr verbundenen massebehafteten Teilkörpern bildet demzufolge eine ideale Trägheit mit einem oder mehreren Koppelpunkten. Der Starrkörper setzt sich aus einzelnen idealisierten Objekten zusammen. Dazu erfolgt nun ein kurzer Überblick.

Jeder Starrkörper bewegt sich in der x,y-Ebene und kann sich um seine Bezugsachse drehen. Zur Beschreibung dieser Körper-Bezugachse dient das Objekt AXIS, daß man sich als z-Achse auf der x,y-Ebene vorstellen kann. Die aktuelle Bewegung des Starrkörpers wird durch die Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes Po in den drei Freiheitsgraden x, y und ph eindeutig beschrieben. Die Bezugsdrehachse ist ein körperloses, rein mathematisches Gebilde. Sie registriert nur die aktuellen Werte der Bewegungsgrößen.

In jedem weiteren interessierenden Punkt des Starrkörpers befinden sich die sogenannten sekundären Achsen. Diese sind vom gleichen Objekt-Typ AXIS. Sie tragen die Werte der Bewegungsgrößen des entsprechenden Punktes.

Jede Achse ist mit einem sogenannten Schaft (Objekt-Typ SHAFT) umgeben. Um die Körperbezugsachse liegt der Körperschaft. An diesem Körperschaft sind alle Teilkörper des gesamten Starrkörpers befestigt. Der Körperschaft hat die Aufgabe für den gesamten Starrkörper die Teilträgheiten, -massen, -kräfte und -momente wertmäßig zusammenzufassen. Er ermittelt die Lage des Gesamtschwerpunktes des Starrkörpers.

Um die sekundären Achsen des Starrkörpers befinden sich sekundäre Schafte (vom gleichen Objekt-Typ SHAFT). Diese haben vom Prinzip her die gleiche Aufgabe wie der Körperschaft. Sie betrachten bei der Zusammenfassung der Teilträgheiten, -kräfte und -momente und der Schwerpunktbildung jedoch nur sich selbst und die Teilkörper, welche auf ihnen befestigt sind. Sind z.B. mehrere Hebelarme starr miteinander verbunden, so berücksichtigt jeder Hebelarm-Schaft nur seinen eigenen Hebel und die Hebel, die an ihm befestigt sind.

Das CORPUS-Objekt realisiert die Trägheitswirkung aller durch den Körperschaft zu einem Starrkörper vereinigten Teilmassen und Drehträgheiten. Entsprechend der möglichen drei Freiheitsgrade berücksichtigt es die Bewegungsgleichungen der Translation in der xy-Ebene und der Drehung um die z-Achse.

Das CORPUS-Objekt realisiert die Wirkung der Gravitation auf den Körperschwerpunkt. Damit kann der Einfluß der Lage des Mechanismus im Schwerefeld berücksichtigt werden.

Die Teilkörper stellen eine Last, eine Belastung für den Schaft dar, auf dem sie befestigt sind. Um eine solche Last in Form eines Teilkörpers an einem Schaft befestigen zu können, benötigt man eine Verbindungsstelle in Form eines Paßsitzes. Dieses Verbindungelement (Lasteinleitungsstelle) auf einem Schaft wird durch den Objekt-Typ LOAD repräsentiert. Auf solch einen Paßsitz kann jeweils ein Teilkörper unterschiedlicher Art geschoben werden. Diese Belastungseinleitungsstelle trägt die Werte der Belastung durch den Teilkörper (dessen Schwerpunkt, Masse, Trägheit, Kraft, Moment). Vereinfacht werden in der obigen Darstellung die Paßsitze als Bestandteil des Schaftes dargestellt (deshalb Schaft als Vierkantstab gezeichnet).

Die unterschiedlichen, aufschiebbaren Teilkörper (Hebel, Räder, Riemen, Schubstangen und Kurvenkörper) besitzen für ihre Befestigung jeweils ein Gegenstück zu diesem Paßsitz. Dieses Gegenstück wird durch den Objekt-Typ JOIN repräsentiert.

Die starren Verbindungen zwischen der Körperbezugsachse und den sekundären Achsen des Starrkörpers werden mittels idealisierter Übertragungselemente realisiert (z.B. Hebelarm, schlupf- und spielfreie Rad- oder Seilgetriebe). Gleiches gilt für die Verbindungen zwischen sekundären Achsen.

Diese idealisierten Übertrager dienen zur Transformation der Bewegungs- und Belastungsgrößen zwischen den damit verbundenen Schaften. Deshalb werden die sie repräsentierenden Objekte auch als TRAFO-Elemente bezeichnet. Jedes dieser TRAFO-Elemente besitzt eine eigene Masseträgheit und einen eigenen Schwerpunkt. Ihnen kann ein Wirkungsgrad zugeordnet werden.


Die Kopplung und ihre Elemente

Zwischen den einzelnen Starrkörpern eines Mechanismus wird mittels sogenannten Kopplungen eine energetische Wechselwirkung hergestellt. Eine Kopplung greift an Schäften der zu verbindenden zwei Starrkörper an. Solch eine allgemeine Kopplung wird durch ein Objekt mit der Bezeichnung LINK repräsentiert.

Das LINK-Objekt verkörpert eine abstrakte Gelenkpaarung. Das Gelenk eines Gleitlagers wird im weiteren als Grundlage zur Veranschaulichung der Gelenkpaarung genutzt. Man spricht deshalb von einer Buchse (BOX) und einem Zapfen (PIN), wenn man die beiden Hälften einer Gelenkpaarung betrachtet. Die beiden Hälften der Gelenkpaarung tragen jeweils ein JOIN-Element. Über diese JOIN-Elemente wird das Andocken an den Schäften der zu verbindenden Schäfte realisiert:

Trotz dieser unterschiedlichen Bezeichner für die Kopplungshälften sind beide Hälften gleichberechtigt und können beim Verbinden mit den Starrkörpern auch vertauscht werden.

Die Gelenkpaarungen verhalten sich an ihren JOIN´s wie Kraftelemente. Im Normalfall enthalten sie keine inneren Speicherelemente. Die Massenträgheit der Kopplung kann meist über die JOIN-Elemente auf die Schäfte der angrenzenden Starrkörper aufgeteilt werden. Die Gelenk-Reaktionen werden dann direkt aus den Differenzen der Bewegungsgrößen der beiden Schäfte ermittelt:

{Fx,Fy,Md}=f (dx, dy, dph, dvx, dvy, dphp)

Die Gelenkpaarung schränkt über entsprechende Gelenkreaktionen den Freiheitgrad der Relativbewegung der über die Kopplung verbundenen Starrkörper ein..

Die konkrete Gelenkpaarung bestimmt die Art der Übertragungsfunktion. Die Gelenkpaarung als Schnittstelle zwischen den beiden starren Koppelhälften befindet sich oft an Übertragungsgliedern (Räder, Hebelarme, Gleitbahn, Kurvenkörper u.ä.). Es kann sich bei der Gelenkpaarung um einen mechanischen Kontakt zwischen den Oberflächen der Kopplungshälften handeln. Bei Festkörpergelenken wird die elastische Verformbarkeit von Materialien als Gelenkpaarung genutzt.

Die einfachste Form eines LINK-Elementes ist die Kupplung. Sie wird als Feder-Dämpfer-Element realisiert. Etwas aufwendiger sind z.B. elastische Dreh-Gleitlager mit Reibung und Spiel:

Das Gleitlager besitzt eine gedämpfte Ersatzelastizität zwischen Zapfen und Buchse. Bei Verschiebung der Zapfen und Buchsenlage zueinander wird dadurch eine Gelenkkraft auf die Reibfläche erzeugt wird. Diese Normalkraft erzeugt zusammen mit der Reibfunktion ein Reibmoment. Die positive Richtung wird durch die Differenz-Bewegung des Zapfens gegenüber der Lagerbuchse bestimmt.


Zerlegung von Mechanismen in zwangsläufige Teilsysteme

Ebene Starrkörper-Mechanismen bestehen aus als starr angenommenen Körpern , welche über Koppeln miteinander verbunden sind und sich in der xy-Ebene drehend und schiebend bewegen könen. Das Beispiel zeigt einen Leistungsschalter:

In der Regel sind die Mechanismen zwangsläufige Systeme. Damit ist es vom Prinzip her möglich, die Bewegung von Mechanismen sowohl kinematisch als auch dynamisch zu simulieren. Sind Teile eines Mechanismus nicht zwangsläufig (z.B. durch ´Freiflug´-Phasen kippender Teile), so ist eine durchgängige kinematische Simulation nicht mehr möglich.

In der Praxis hat sich eine Anzahl von Getriebegrundbausteinen etabliert, welche in sich ein zwangsläufiges Verhalten aufweisen (d.h. aus der Stellung des Antriebsschaftes P1 folgt eine eindeutige Stellung des Abtriebsschaftes P2):

Diese Getriebeglieder besitzen bezüglich ihres Abtriebschaftes P2 nur einen Freiheitsgrad. Das Gleiche trifft gilt auch für die markierten Zusatz-Koppelpunkte Pz. Diese zusätzlichen Koppelpunkte entstehen durch Anfügen von Hebelarmen an den jeweiligen Starrkörper. Der als Koppelgleitstein bezeichnete Teilmechanismus kann auch mit einem variablen Winkel der Gleitbahn versehen werden, der dann allerdings in seinem Verlauf gegeben sein muß.

Die meisten Mechanismen lassen sich durch Verkopplung solcher Getriebe-Grundbausteine aufbauen.


Synthese von Mechanismen aus zwangsläufigen Teilsystemen

Am Beispiel eines Verkorkungsautomaten soll gezeigt werden, wie man Mechanismen aus zwangsläufigen Teilsystemen synthetisieren kann. Es erweist sich dabei als günstig, für jedes dieser zwangsläufigen Teilsysteme ein separates Teilmodell vorzusehen:

Der Verkorkungsmechanismus kann aus den folgenden Teilmodellen synthetisiert werden:

	Teilmodell:  Drehzahl.TMB Zur Untersuchung des dynamischen Verhaltens des Mechanismus kann ein Drehzahlverlauf vorgegeben werden. Der Verlauf der Drehzahl ist einstellbar über die zu erreichende Enddrehzahl und die Anfangssteigung. -----------------------------------------------------------------------------------------------------
	Teilmodell:  cGetrMot.TMB Realer Stellmotor mit Tachogenerator (ideal), PI-Drehzahlregelung und idealem Getriebe (kein Spiel und keine Elastizität) aber einstellbarem Getriebewirkungsgrad und wählbarem Übersetzungsverhältnis des Getriebes Die integrierende Drehträgheit liegt im wesentlichen auf der Primärseite des Getriebes mit der alles überragenden Motorträgheit. Der sich in einem reibungsfreien Festlager drehende sekundäre Getriebeschaft wird zur Ankopplung der Kurbeln der beiden Gelenkgetriebe weitergereicht. -----------------------------------------------------------------------------------------------------
	Teilmodell: SHUBKRBL.TMB Die Schubkurbel besteht aus einer frei verbindbaren Kurbel, einer Koppel und einem Gleitstein auf einer festen Gleitebene. Durch die Schaftaufnahme der Kurbel wird der Getriebeschaft hindurchgesteckt, so daß das zweite Gelenkgetriebe ebenfalls an ihm angekoppelt werden kann. Die Elastizitäten der beiden Drehgelenke werden in einer elastischen Koppel zusammengefaßt. Die Lagerreibungen werden nachgebildet. Alle drei Schäfte werden für mögliche Ankopplungen nach außen geführt. Der Schaft des Gleitsteines wird weitergeführt an das Verkorker-Teilmodell zur Anbringung des Stößels  -----------------------------------------------------------------------------------------------------
	Teilmodell:  VIERGLNK.TMB Die Kurbelschwinge besteht ebenfalls aus einer frei koppelbaren Kurbel und einer federelastischen Koppel und einer in einem Festdrehlager befestigten Schwinge in Form eines Hebelarmes. Der Schwingenschaft wird zur Ankopplung des zweiten Doppelhebelarmes an das Teilmodell Verkorker weitergereicht. -----------------------------------------------------------------------------------------------------
	Teilmodell:  VERKORKR.TMB Die Körperschäfte von Gleitstein und Schwinge werden vom Teilmodell Verkorker übernommen. An ihnen werden der Stößel und der 2. Hebelarm des Doppelhebels angekoppelt. Die Prozesse der Korkenbewegung werden ereignisgesteuert ausgeführt..

Aus den obigen Teilmodellen kann das Gesamtmodell des Antriebsmechanismus zusammengesetzt werden: